Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!! СРОЧНО!! ЗА 100 БАЛЛОВ Доказать, что если в геометрической прогресии n+m=k+l, то b(n)×b(m)=b(k)×b(l).

Answer 1

Формула N-ого члена геометрической прогрессии:

$b_N=b_1q^{N-1}$

Рассмотрим соотношение:

$b_n\cdot b_m=b_k\cdot b_l$

Распишем каждый из членов по формуле для соответствующего номера:

$b_1\cdot q^{n-1}\cdot b_1\cdot q^{m-1}=b_1\cdot q^{k-1}\cdot b_1\cdot q^{l-1}$

Сгруппируем множители и воспользуемся свойствами степени:

$b_1^2\cdot q^{n-1+m-1}=b_1^2\cdot q^{k-1+l-1}$

$b_1^2\cdot q^{n+m-2}=b_1^2\cdot q^{k+l-2}$

Так как по условию $n+m=k+l$, то действительно левая часть равна правой части. Значит $b_n\cdot b_m=b_k\cdot b_l$.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения давайте воспользуемся свойствами геометрической прогрессии и свойствами степеней. Для удобства обозначим первый член геометрической прогрессии как "a" и знаменатель прогрессии как "q". Тогда:

a_n = a * q^(n-1) a_m = a * q^(m-1) a_k = a * q^(k-1) a_l = a * q^(l-1)

Теперь мы можем записать:

n + m = k + l

Умножим обе стороны на "log(q)" (логарифм по основанию q):

log(q^n) + log(q^m) = log(q^k) + log(q^l)

Используя свойство логарифмов (log(x^y) = y * log(x)), получаем:

n * log(q) + m * log(q) = k * log(q) + l * log(q)

Теперь мы можем выразить выражения для b(n), b(m), b(k) и b(l):

b(n) = q^n b(m) = q^m b(k) = q^k b(l) = q^l

И подставим их в уравнение:

n * log(q) + m * log(q) = k * log(q) + l * log(q)

Теперь у нас есть уравнение с выражениями для b(n), b(m), b(k) и b(l):

log(b(n)) + log(b(m)) = log(b(k)) + log(b(l))

Используя свойство логарифмов (log(x) + log(y) = log(x * y)), мы можем записать:

log(b(n) * b(m)) = log(b(k) * b(l))

Теперь, если левая и правая части уравнения равны, то и сами выражения должны быть равными:

b(n) * b(m) = b(k) * b(l)

Таким образом, мы доказали, что если n + m = k + l в геометрической прогрессии, то b(n) * b(m) = b(k) * b(l).