Question

Обчислити площі фігур, обмежених лініями: ху=1, у=х², у=4, х>0.

Answer 1

Пояснення:

$> 0\ \ \ \ S=?\\\\x*4=1\ |:4\ \ \ \ \ \ x=\frac{1}{4} \\\\4=x^2\\\\x=б2\ \ \ \ x > 0\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ x=2.\\\\S=\int\limits^1_\frac{1}{4} {(4-\frac{1}{x}) } \, dx +\int\limits^2_1 {(4-x^2)} \, dx=(4x-lnx)\ |_\frac{1}{4}^1+(4x-\frac{x^3}{3} )\ |_1^2=$

$=(4*1-4*\frac{1}{4} -(ln1-ln\frac{1}{4} ))+(4*2-\frac{2^3}{3} -(4*1-\frac{1^3}{3}))=\\\\=(4-1-(0+ln4))+(8-\frac{8}{3} -(4-\frac{1}{3})=3-ln4+8-\frac{8}{3}-4+\frac{1}{3} =\\\\=7-ln4-\frac{7}{3}=7-ln4-2\frac{1}{3} =4\frac{2}{3} -ln4\approx3,28 .$

Відповідь: S≈3,28 кв. од.

Answer 2

Щоб обчислити площу фігур, обмежених цими лініями, вам потрібно спочатку знайти точки перетину ліній. Потім можна обчислити площу кожного з обмежених регіонів і додати їх разом, якщо це необхідно. Давайте розглянемо цей процес крок за кроком.

Лінії:

1. ху = 1
2. у = х²
3. у = 4

Спочатку знайдемо точки перетину ліній:

1. Лінія ху = 1 перетинає лінію у = х²: ху = у, тобто х² = 1. Звідси маємо дві можливі точки перетину: х = 1 і х = -1. Так як дана задача обмежена х > 0, то ігноруємо точку х = -1.

2. Лінія у = х² перетинає лінію у = 4: х² = 4. Звідси маємо дві можливі точки перетину: х = 2 і х = -2. Як і в попередньому кроці, ігноруємо точку х = -2 через умову х > 0.

Тепер ми маємо точки перетину ліній:

• Точка A(1, 1) (де ху = 1 і у = 1).
• Точка B(2, 4) (де ху = 2 і у = 4).

Тепер давайте обчислимо площу фігур, обмежених цими лініями.

Фігура 1: Ця фігура обмежена лініями ху = 1, у = х² та х > 0. Це фігура, що знаходиться між лініями y = 1 та y = x², якщо x > 0. Площа цієї фігури може бути обчислена як інтеграл від x = 0 до x = 1 від функції (x² - 1) dx.

Площа фігури 1 = ∫[0, 1] (x² - 1) dx = [x³/3 - x] від 0 до 1 = (1/3 - 1) - (0/3 - 0) = (1/3 - 1) = -2/3 квадратних одиниць.

Фігура 2: Ця фігура обмежена лініями у = х², у = 4 та х > 0. Це фігура, що знаходиться між лініями y = x² та y = 4, якщо x > 0. Площа цієї фігури може бути обчислена як інтеграл від x = 1 до x = 2 від функції (4 - x²) dx.

Площа фігури 2 = ∫[1, 2] (4 - x²) dx = [4x - (x³/3)] від 1 до 2 = (8 - (8/3)) - ((4 - (1/3)) - 0) = (24/3 - 8/3) - (12/3 - 1/3) = (16/3) - (11/3) = 5/3 квадратних одиниць.

Тепер, щоб знайти загальну площу фігур, додайте площу фігури 1 та площу фігури 2:

Загальна площа = Площа фігури 1 + Площа фігури 2 = (-2/3) + (5/3) = 3/3 = 1 квадратна одиниця.

Отже, загальна площа фігур, обмежених лініями ху = 1, у = х², у = 4, х > 0, дорівнює 1 квадратній одиниці.