Question

СРОЧНООООО. РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА 1. cos36°+cos54°-cos22° 2.(sinα+sinβ)²+(cosα+cosβ)²

Answer 1

1 - приблизительно 0,426873 2 - sin(a)+sin(b)^2+cos(a)+cos(b)

Answer 2

Давайте решим поочередно:

1. $\cos(36^\circ) + \cos(54^\circ) - \cos(22^\circ)$

Используем тригонометрические тождества:

$$\cos(A) + \cos(B) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Тогда:

$$\cos(36^\circ) + \cos(54^\circ) = 2\cos(45^\circ)\cos\left(\frac{54^\circ-36^\circ}{2}\right)$$

$$= 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cos(9^\circ)$$

$$= \sqrt{2}\cos(9^\circ)$$

Теперь выразим $\cos(22^\circ)$ через $\cos(9^\circ)$ и $\cos(45^\circ)$:

$$\cos(22^\circ) = \cos(45^\circ - 23^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(23^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(23^\circ)$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(23^\circ) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(23^\circ)$$

Теперь подставим все обратно в исходное уравнение:

$$\sqrt{2}\cos(9^\circ) + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(23^\circ) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(23^\circ)$$

$$- \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(23^\circ) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(23^\circ)\right)$$

Сокращаем:

$$\sqrt{2}\cos(9^\circ)$$

2. $(\sin\alpha + \sin\beta)^2 + (\cos\alpha + \cos\beta)^2$

Раскроем квадраты:

$$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta + \cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta$$