Question

Знайдіть екстремуми функції f(x)=3+4x-x²

Answer 1

Ответ:

максимальне значення 7 є у точці х=2

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції $f(x) = 3 + 4x - x^2$, спершу знайдемо її похідну та знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю. Це допоможе нам знайти критичні точки, де можуть бути екстремуми.

1. Знайдемо похідну $f(x)$: $f'(x) = 4 - 2x$

2. Тепер розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$ для знаходження критичних точок: $4 - 2x = 0$

Віднімемо 4 від обох сторін і розділимо на -2: $-2x = -4$

Ділимо обидві сторони на -2, щоб знайти значення $x$: $x = 2$

Отже, $x = 2$ - це критична точка.

3. Тепер знайдемо значення $f(x)$ в цій критичній точці, а також на кінцях інтервалу, щоб визначити, чи є це максимум чи мінімум:
   • При $x = 2$, $f(2) = 3 + 4(2) - (2)^2 = 3 + 8 - 4 = 7$.
   • Якщо $x$ наближається до нескінченності (позитивного або від'ємного), $f(x)$ також наближається до нескінченності (або від'ємної нескінченності). Тобто, функція не має обмеження знизу.

Отже, ми знайшли критичну точку $x = 2$ і відповідне значення $f(x) = 7$. Оскільки похідна змінює знак з плюсу на мінус при переході через цю точку, то $x = 2$ є мінімумом функції $f(x)$ зі значенням $f(2) = 7$.