Question

Знайдіть значення ординати точки мінімуму функції: f(x)=x^3-48x+21

Answer 1

Для знаходження точки мінімуму функції потрібно взяти її похідну та прирівняти до нуля:

f(x) = x^3 - 48x + 21
f'(x) = 3x^2 - 48

Точка мінімуму буде відповідати значенню аргументу, для якого похідна дорівнює нулю:

3x^2 - 48 = 0
3x^2 = 48
x^2 = 16
x = ±4

Таким чином, ми отримали дві можливі точки мінімуму функції: x = 4 та x = -4. Щоб з'ясувати, яка з них є точкою мінімуму, потрібно порівняти значення функції в цих точках:

f(4) = 4^3 - 48*4 + 21 = -103
f(-4) = (-4)^3 - 48*(-4) + 21 = 107

Отже, точкою мінімуму функції є точка з координатами (-4, 107), або ж (4, -103), залежно від того, в якому інтервалі аргумента ми шукаємо мінімум функції.

Answer 2

Для нахождения точки минимума, необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю:

f(x) = x^3 - 48x + 21

f'(x) = 3x^2 - 48

3x^2 - 48 = 0

3x^2 = 48

x^2 = 16

x = ±4

Точки экстремумов находятся в точках x = -4, x = 4. Чтобы определить, какая из них является точкой минимума, необходимо проанализировать знаки второй производной:

f''(x) = 6x

f''(-4) = -24 < 0, f''(4) = 24 > 0

Таким образом, точка минимума функции f(x) находится в точке x = 4. Чтобы найти значение ординаты в этой точке, подставим x = 4 в исходную функцию:

f(4) = 4^3 - 48*4 + 21 = -119

Ответ: ордината точки минимума функции f(x) равна -119.

Answer 3

Щоб знайти значення ординати точки мінімуму функції $f(x) = x^3 - 48x + 21$, спершу треба знайти похідну функції та розв'язати рівняння $f'(x) = 0$, щоб знайти критичні точки. Потім знайдемо значення ординати для цих критичних точок, аби знайти точку мінімуму.

1. Знайдемо похідну $f'(x)$ функції $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 48.$

2. Розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$ для знаходження критичних точок: $3x^2 - 48 = 0$ $3x^2 = 48$ $x^2 = 16$ $x = \pm 4.$

3. Знайдемо значення ординати для кожної критичної точки:

   • Для $x = -4$: $f(-4) = (-4)^3 - 48(-4) + 21 = -64 + 192 - 21 = 107.$
   • Для $x = 4$: $f(4) = 4^3 - 48(4) + 21 = 64 - 192 + 21 = -107.$

Таким чином, маємо дві критичні точки: $(-4, 107)$ та $(4, -107)$. Щоб визначити, яка з них є точкою мінімуму, порівняємо значення функції у цих точках. Отже, мінімальна ордината точки мінімуму дорівнює -107.