Question

Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за 8 год. Першому для цієї роботи потрібно на 5 год більше, ніж другому. За скільки годин перший робітник міг виконати цю роботу самостійно?

Answer 1

Відповідь:

Відповідь: перший робітник міг виконати цю роботу самостійно за 17.86 годин.

Пояснення:

Позначимо час, за який другий робітник виконує роботу, як x годин, тоді перший робітник виконає роботу за x + 5 годин.

Також, з умови задачі, знаємо, що разом вони виконують роботу за 8 годин:

1/(x + 5) + 1/x = 1/8

Перетворимо це рівняння:

8x + 40 + 8x + 40 = x(x + 5)

16x + 80 = x^2 + 5x

x^2 - 11x - 80 = 0

Знайдемо корені цього квадратного рівняння:

x1 = (-(-11) + √(11^2 - 4*(-80)))/(2*1) ≈ 12.86

x2 = (-(-11) - √(11^2 - 4*(-80)))/(2*1) ≈ -6.23

Час повинен бути позитивним числом, тому x = 12.86.

Отже, другий робітник виконує роботу за 12.86 годин, а перший робітник виконає її за x + 5 = 17.86 годин.

Відповідь: перший робітник міг виконати цю роботу самостійно за 17.86 годин.

Answer 2

Позначимо швидкість роботи першого робітника як "x" і швидкість роботи другого робітника як "y" (виразено в завданнях на годину). Зараз можемо сформулювати дві рівняння на основі наданих умов:

1. Коли працюють разом, вони можуть виконати завдання за 8 годин:

   $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$

2. Перший робітник для цієї роботи потребує на 5 годин більше, ніж другий:

   $x = y + 5$

Тепер ми можемо використовувати друге рівняння, щоб замінити "x" у першому рівнянні:

$\frac{1}{y+5} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для "y". Перш за все, помножимо обидві сторони на $8y(y+5)$, щоб позбутися знаменників:

$8y(y+5) \cdot \frac{1}{y+5} + 8y(y+5) \cdot \frac{1}{y} = 8y(y+5) \cdot \frac{1}{8}$

Спростимо вирази:

$8y + 8(y+5) = y(y+5)$

Розкриємо дужки:

$8y + 8y + 40 = y^2 + 5y$

Піднесемо все до степеня 2:

$16y + 40 = y^2 + 5y$

Приймемо всі терміни на одну сторону:

$0 = y^2 + 5y - 16y - 40$

$0 = y^2 - 11y - 40$

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Ми шукаємо два числа, які множаться до -40 і додаються до -11. Ці числа -8 і 5. Таким чином, ми можемо розкласти квадратний тричлен:

$0 = (y - 8)(y + 5)$

З цього рівняння видно, що два можливих значення для "y" це 8 і -5. В контексті завдання ми можемо відкинути від'ємне значення -5, оскільки швидкість роботи не може бути від'ємною.

Отже, другий робітник може виконати роботу самостійно за 8 годин.