Question

5.50. Решите систему неравенств: 1) (21x²+39x - 6 0; 2) (4x²+5x6>0, 7x>0; [x +7 > 0, x 5) +5x0; 6) (2x² + 5x + 20 ≤ 0, x-1,5 >0.​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Решим квадратное уравнение 21x²+39x-6=0:

D = 39² - 4·21·(-6) = 1845

x₁ = (-39 + √1845)/(2·21) ≈ 0.1708

x₂ = (-39 - √1845)/(2·21) ≈ -1.682

Таким образом, корни уравнения x₁ ≈ 0.1708 и x₂ ≈ -1.682. Составим таблицу знаков:

x | -∞ | -1.682 | 0.1708 | +∞

---|----------|---------|---------|------

21x²+39x-6 | - | + | - | +

Ответ: система неравенств имеет решение на интервале (-∞, -1.682] ∪ [0.1708, +∞).

2) Решим неравенство 4x²+5x+6>0:

D = 5² - 4·4·6 = -44

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Составим таблицу знаков:

x | -∞ | +∞

---|----------|------

4x²+5x+6 | + | +

7x | -∞ | +∞

x+7 | -∞ | +∞

Ответ: система неравенств не имеет решений.

Решим неравенство 5x+6>0:

x > -6/5

Составим таблицу знаков:

x | -∞ | -1.2 | +∞

---|----------|-------|------

5x+6 | - | + | +

7x | -∞ | +∞

x+7 | -∞ | +∞

Ответ: система неравенств имеет решение на интервале (-6/5, +∞).

Решим неравенство x+5 ≤ 0:

x ≤ -5

Составим таблицу знаков:

x | -∞ | -5 | +∞

---|----------|--------|-------

x+5 | - | 0 | +

5x | -∞ | +∞

Ответ: система неравенств имеет решение на интервале (-∞, -5].

6) Решим неравенство 2x² + 5x + 20 ≤ 0.

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения 2x² + 5x + 20 = 0:

D = 5² - 4·2·20 = -155

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Значит, при любом значении x выражение 2x² + 5x + 20 будет больше нуля.

Решим неравенство x - 1,5 > 0.

x - 1,5 > 0

x > 1,5

Значит, при x > 1,5 оба неравенства выполняются.

Ответ: x > 1,5.

Answer 2

Для решения системы неравенств, давайте рассмотрим каждую часть по отдельности:

1. $21x^2 + 39x - 6 > 0$

Давайте сначала решим квадратное уравнение $21x^2 + 39x - 6 = 0$. Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти его корни:

$21x^2 + 39x - 6 = 0$

Теперь найдем корни этого уравнения, используя квадратное уравнение:

$(3x - 1)(7x + 6) = 0$

Из этого уравнения получаем два корня:

$3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$

и

$7x + 6 = 0 \Rightarrow 7x = -6 \Rightarrow x = -\frac{6}{7}$

Теперь мы знаем, что это уравнение имеет два корня: $x = \frac{1}{3}$ и $x = -\frac{6}{7}$.

Теперь найдем интервалы, в которых $21x^2 + 39x - 6$ положительно или отрицательно:

Для этого используем тестовую точку в каждом из трех интервалов: $(- \infty, -\frac{6}{7})$, $(-\frac{6}{7}, \frac{1}{3})$, и $(\frac{1}{3}, +\infty)$.

1. Для интервала $(- \infty, -\frac{6}{7})$, возьмем $x = -1$ (любое число меньше, чем $-\frac{6}{7}$):

   $21(-1)^2 + 39(-1) - 6 = 21 - 39 - 6 = -24 < 0$

   Таким образом, в этом интервале уравнение $21x^2 + 39x - 6 > 0$ не выполняется.

2. Для интервала $(-\frac{6}{7}, \frac{1}{3})$, возьмем $x = 0$ (любое число между $-\frac{6}{7}$ и $\frac{1}{3}$):

   $21(0)^2 + 39(0) - 6 = -6 < 0$

   Таким образом, в этом интервале уравнение $21x^2 + 39x - 6 > 0$ не выполняется.

3. Для интервала $(\frac{1}{3}, +\infty)$, возьмем $x = 1$ (любое число больше, чем $\frac{1}{3}$):

   $21(1)^2 + 39(1) - 6 = 21 + 39 - 6 = 54 > 0$

   Таким образом, в этом интервале уравнение $21x^2 + 39x - 6 > 0$ выполняется.

Теперь, чтобы решить систему неравенств, добавим условие $7x > 0$ и объединим результаты:

• Условие $7x > 0$ выполняется, когда $x > 0$.

• Условие $x + 7 > 0$ выполняется, когда $x > -7$.

• Условие $5x + 5 > 0$ выполняется, когда $x > -1$.

• Условие $2x^2 + 5x + 20 \leq 0$ можно рассматривать отдельно:

  Мы видим, что коэффициент перед $x^2$ положителен ($2 > 0$), поэтому это квадратное уравнение имеет минимум, а не максимум. И так как $a > 0$ в уравнении