Question

6" Розв'яжіть рівняння x2 + y2 -8х+12y+52=0.

Answer 1

x^2 - 8x + y^2 + 12y = -52

x^2 - 8x + 16 + y^2 + 12y + 36 = -52 + 16 + 36

(x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 0

Answer 2

Для розв'язання цього рівняння квадратне рівняння відносно x та y можна переписати у вигляді так званого "комплетувального квадрату", щоб зручно використовувати методи завершення квадрату:

1. Перегрупуємо члени рівняння:

   x^2 - 8x + y^2 + 12y + 52 = 0.

2. Розділимо змінні x та y із залишком:

   (x^2 - 8x) + (y^2 + 12y) + 52 = 0.

3. Завершимо квадрат для змінної x, додавши та віднімаючи (8/2)^2 = 16:

   (x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 12y) + 52 = 0.

4. Тепер завершимо квадрат для змінної y, додавши та віднімаючи (12/2)^2 = 36:

   (x^2 - 8x + 16) - 16 + (y^2 + 12y + 36) - 36 + 52 = 0.

5. Спростимо вираз, об'єднавши квадрати та константи:

   (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 12y + 36) + (52 - 16 - 36) = 0.

6. Зведемо кожен з квадратів:

   (x - 4)^2 + (y + 6)^2 + (52 - 16 - 36) = 0.

7. Обчислимо суму констант:

   (x - 4)^2 + (y + 6)^2 + 0 = 0.

8. Зараз ми отримали рівняння кола у вигляді "комплетувального квадрату":

   (x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 0.

Рівняння кола у такому вигляді має центр в точці (4, -6) і радіус рівний 0. Оскільки радіус дорівнює 0, це означає, що це єдиний розв'язок рівняння, і точка (4, -6) є єдиним розв'язком даного рівняння.