Question

Найдите первообразную функцию помогите пж прошу вас f(x) = x - 3x³+³√x ​

Answer 1

Для интегрирования данной функции будем использовать следующие формулы:

$∫(u + v + w)dx = ∫udx + ∫vdx + ∫wdx \\∫ {x}^{n} dx = \frac{ {x}^{n + 1} }{n + 1} \\ ∫cvdx = c∫vdx$

Тогда:

$∫f(x)dx = ∫(x - 3 {x}^{3} + {x}^{ \frac{1}{3} } )dx = \frac{ {x}^{2} }{2} - \frac{3 {x}^{4} }{4} + \frac{3x {}^{ \frac{4}{3} } }{4} + c$

Answer 2

Давайте найдем первообразную функции $f(x) = x - 3x^3 + \sqrt[3]{x}$.

Для этого найдем первообразные отдельно для каждого из слагаемых и затем сложим их.

1. Первообразная от $x$ равна $\frac{1}{2}x^2$.

2. Первообразная от $-3x^3$ равна $-\frac{3}{4}x^4$.

3. Первообразная от $\sqrt[3]{x}$ можно найти, используя замену. Пусть $u = \sqrt[3]{x}$, тогда $du = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}dx$. Теперь можем выразить $dx$ через $du$: $dx = 3u^2du$. Теперь интегрируем:

$$\int \sqrt[3]{x} \, dx = \int u \cdot 3u^2 \, du = 3\int u^3 \, du = \frac{3}{4}u^4.$$

Теперь вернемся к переменной $x$:

$$\frac{3}{4}u^4 = \frac{3}{4}\left(\sqrt[3]{x}\right)^4 = \frac{3}{4}x^\frac{4}{3}.$$

Теперь сложим все найденные первообразные:

$$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{4}x^\frac{4}{3} + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная. Таким образом, первообразная функции $f(x) = x - 3x^3 + \sqrt[3]{x}$ равна:

$$\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{4}x^\frac{4}{3} + C.$$