Question

Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии, если a2+а4=16 и а1*а5=28​

Answer 1

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Составим систему на основе условия:

$\begin{cases} a_2+a_4=16 \\ a_1a_5=28 \end{cases}$

$\begin{cases} a_1+d+a_1+3d=16 \\ a_1(a_1+4d)=28 \end{cases}$

$\begin{cases} 2a_1+4d=16 \\ a_1(a_1+4d)=28 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим соотношение для 4d:

$4d=16-2a_1$

И подставим во второе уравнение:

$a_1(a_1+16-2a_1)=28$

$a_1(16-a_1)=28$

$16a_1-a_1^2=28$

$a_1^2-16a_1+28=0$

$D_1=(-8)^2-1\cdot28=64-28=36$

$(a_1)_1=8+\sqrt{36} =14$

$(a_1)_2=8-\sqrt{36} =2$

Найдем соотношение для d:

$d=\dfrac{16-2a_1}{4} =\dfrac{8-a_1}{2}$

Тогда:

$d_1=\dfrac{8-(a_1)_1}{2}=\dfrac{8-14}{2}=-3$

$d_2=\dfrac{8-(a_1)_2}{2}=\dfrac{8-2}{2}=3$

Таким образом, имеется две подходящие арифметические прогрессии:

1) в которой $a_1=14;\ d=-3$

2) в которой $a_1=2;\ d=3$

Найдем сумму первых шести членов арифметической прогрессии:

$S_6=\dfrac{2a_1+5d}{2}\cdot 6= 3(2a_1+5d)$

Для первого случая получим:

$S_6=3\cdot(2\cdot14+5\cdot(-3))=3\cdot(28-15)=3\cdot13=39$

Для второго случая получим:

$S_6=3\cdot(2\cdot2+5\cdot3)=3\cdot(4+15)=3\cdot19=57$

Ответ: 39 или 57

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a" и разность прогрессии как "d". Тогда ваши условия можно записать следующим образом:

a2 + a4 = 16 (1) a1 * a5 = 28 (2)

Первое уравнение (1) говорит о сумме второго и четвертого членов прогрессии, а второе уравнение (2) говорит о произведении первого и пятого членов прогрессии.

Давайте найдем значения a2 и a4, а также a1 и a5:

a2 = a + d a4 = a + 3d a1 = a a5 = a + 4d

Теперь мы можем переписать уравнения (1) и (2) с использованием этих выражений:

(a + d) + (a + 3d) = 16 (1) a * (a + 4d) = 28 (2)

Решим первое уравнение:

2a + 4d = 16

Делим обе стороны на 2:

a + 2d = 8

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a + 2d = 8
2. a * (a + 4d) = 28

Мы можем решить эту систему. Сначала решим уравнение (1) относительно "a":

a = 8 - 2d

Теперь подставим это выражение во второе уравнение (2):

(8 - 2d) * (8 - 2d + 4d) = 28

(8 - 2d) * (8 + 2d) = 28

Раскроем скобки:

64 - 4d^2 = 28

Переносим все на одну сторону:

4d^2 = 64 - 28

4d^2 = 36

d^2 = 9

d = ±3

Теперь у нас есть два возможных значения разности "d": d = 3 и d = -3.

Сначала рассмотрим случай d = 3:

a = 8 - 2 * 3 = 8 - 6 = 2

Теперь мы знаем значения "a" и "d" для этого случая. Мы можем найти первые шесть членов прогрессии:

a1 = 2 a2 = 2 + 3 = 5 a3 = 2 + 2 * 3 = 8 a4 = 2 + 3 * 3 = 11 a5 = 2 + 4 * 3 = 14 a6 = 2 + 5 * 3 = 17

Теперь найдем сумму первых шести членов прогрессии:

Сумма = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57

Таким образом, сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 57, при условии, что d = 3. Если d = -3, то значения членов прогрессии будут разными, и сумма также будет другой.