Question

Развязать неравенство (1/2)^х^2+х-2 ≥4^х-1

Answer 1

Ответ:

Для розв'язання даної нерівності, спробуємо спростити її:

(1/2)^(x^2 + x - 2) ≥ 4^(x - 1)

Спочатку спростимо праву частину за допомогою властивості: a^b = (e^ln(a))^b:

(1/2)^(x^2 + x - 2) ≥ (e^(ln(4)))^(x - 1)

Так як e^(ln(4)) = 4, можемо записати:

(1/2)^(x^2 + x - 2) ≥ 4^(x - 1)

(1/2)^(x^2 + x - 2) ≥ 4^(x - 1)

2^(-x^2 - x + 2) ≥ 2^(2x - 2)

Застосуємо логарифм до обох боків нерівності, використовуючи властивість: log_a(b^c) = c * log_a(b):

(-x^2 - x + 2) * log(2) ≥ (2x - 2) * log(2)

-2x^2 - 2x + 4 ≥ 2x - 2

Перенесемо всі члени в одну частину нерівності:

-2x^2 - 4x - 2 ≥ 0

Поділимо обидві частини нерівності на -2, змінивши напрямок нерівності:

x^2 + 2x + 1 ≤ 0

Тепер розв'яжемо квадратну рівняння x^2 + 2x + 1 = 0:

(x + 1)(x + 1) = 0

(x + 1)^2 = 0

x + 1 = 0

x = -1

Таким чином, розв'язком даної нерівності є x ≤ -1.

Объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с данным неравенством. У вас есть:

(1/2)^(x^2 + x - 2) ≥ 4^(x - 1)

Сначала упростим оба выражения, чтобы легче было работать с неравенством.

1. Преобразуем (1/2)^(x^2 + x - 2) в виде 2^(-x^2 - x + 2), так как (1/2) равно 2 в отрицательной степени.

Теперь наше неравенство выглядит следующим образом:

2^(-x^2 - x + 2) ≥ 4^(x - 1)

2. Представим 4 в виде 2^2:

2^(-x^2 - x + 2) ≥ 2^(2(x - 1))

3. Сравним показатели степени:

-x^2 - x + 2 ≥ 2(x - 1)

4. Раскроем скобки справа:

-x^2 - x + 2 ≥ 2x - 2

5. Теперь переносим все элементы на одну сторону неравенства:

-x^2 - x + 2x - 2 - 2 ≥ 0

6. Упростим выражение:

-x^2 + x - 4 ≥ 0

7. Умножим обе стороны на -1, чтобы изменить направление неравенства (знаки будут меняться):

x^2 - x + 4 ≤ 0

8. Теперь нам нужно найти значения x, при которых это неравенство выполняется. Мы можем воспользоваться методом квадратичных неравенств или графически представить функцию y = x^2 - x + 4 и определить, где она меньше или равна нулю.

Если посмотреть на график данной функции, можно увидеть, что она всегда положительна (не касается или не пересекается с осью x). Таким образом, неравенство x^2 - x + 4 ≤ 0 не имеет действительных корней.

Ответ: Неравенство не имеет решений в действительных числах.