Question

Решите систему уравненийx^2 + y^2 + z^2 = 13, x + y + z = 3, xy + yz + zx = -3. a) Найдите все значения x, y и z, удовлетворяющие этой системе уравнений. b) Докажите, что эта система уравнений не имеет других решений.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

С одной стороны:

x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx)=3²-2×(-3)=9+6=15

Здесь используется известная формула сокращенного умножения, после чего подставляются данные из второй и третьей строк системы.

С другой стороны:

x²+y²+z²=13

Это следует из условия.

Но 13 не равно 15 => система не имеет решений на множестве действительных чисел.

Система уравнений решена!

Answer 2

Давайте начнем с решения этой системы уравнений.

Дана система уравнений:

1. $x^2 + y^2 + z^2 = 13$
2. $x + y + z = 3$
3. $xy + yz + zx = -3$

a) Найдем все значения $x$, $y$, и $z$, удовлетворяющие этой системе уравнений.

Сначала используем уравнение (2), чтобы выразить одну из переменных, например, $z$:

$z = 3 - x - y$

Теперь подставим это значение $z$ в уравнение (1):

$x^2 + y^2 + (3 - x - y)^2 = 13$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + y^2 + (9 - 6x + x^2 - 6y + y^2) = 13$

Сгруппируем по переменным $x$ и $y$:

$(2x^2 + 2y^2 - 6x - 6y) + (9 - 13) = 0$

Упростим дальше:

$2x^2 + 2y^2 - 6x - 6y - 4 = 0$

Разделим обе стороны на 2 для удобства:

$x^2 + y^2 - 3x - 3y - 2 = 0$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $x^2 + y^2 + z^2 = 13$
2. $x^2 + y^2 - 3x - 3y - 2 = 0$

Мы можем решить эту систему численно или методом подстановки. Попробуем метод подстановки:

Из уравнения (2) выразим одну из переменных, например, $y$:

$y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x + 3}$

Теперь подставим это значение $y$ в уравнение (1):

$x^2 + \left(\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 3}\right)^2 + z^2 = 13$

Это уравнение зависит только от переменных $x$ и $z$. Мы можем решить его численно или методом подстановки.

b) Чтобы доказать, что система не имеет других решений, нужно убедиться, что найденные значения $x$, $y$, и $z$ являются единственными решениями этой системы уравнений. Это можно сделать, проведя анализ системы и убедившись, что других решений нет.

Похоже, что решения системы можно найти численно. Вычислительные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, могут быть использованы для приближенного нахождения корней этой системы.