Question

Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції1.)y=-x²+6x;2.)y=x²+8x+3​

Answer 1

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції, потрібно визначити похідну функції та дослідити її знак. Знак похідної вказує на те, чи функція зростає чи спадає.

1. Розглянемо функцію $y = -x^2 + 6x$:

   • Знайдемо похідну: $y' = -2x + 6$.
   • Дослідимо знак похідної:
     • Коли $-2x + 6 > 0$, то функція $y$ зростає.
     • Коли $-2x + 6 < 0$, то функція $y$ спадає.

2. Тепер розглянемо функцію $y = x^2 + 8x + 3$:

   • Знайдемо похідну: $y' = 2x + 8$.
   • Дослідимо знак похідної:
     • Коли $2x + 8 > 0$, то функція $y$ зростає.
     • Коли $2x + 8 < 0$, то функція $y$ спадає.

Знайдемо критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не існує, щоб визначити точки перетину функції з віссю $x$:

1. Для функції $y = -x^2 + 6x$: $-2x + 6 = 0$ $x = 3$

2. Для функції $y = x^2 + 8x + 3$: $2x + 8 = 0$ $x = -4$

Тепер можемо побудувати таблицю знаків похідних та визначити проміжки зростання та спадання для обох функцій:

1. Для $y = -x^2 + 6x$:

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -4) & (-4, 3) & (3, +\infty) \\ \hline y' & - & + & - \\ \hline \text{Тип зони} & \text{Спадання} & \text{Зростання} & \text{Спадання} \\ \hline \end{array}$$

2. Для $y = x^2 + 8x + 3$:

   $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -4) & (-4, 3) & (3, +\infty) \\ \hline y' & - & - & + \\ \hline \text{Тип зони} & \text{Спадання} & \text{Спадання} & \text{Зростання} \\ \hline \end{array}$$

Отже, для функції $y = -x^2 + 6x$:

• Функція спадає на проміжку $(-\infty, -4)$,
• Функція зростає на проміжку $(-4, 3)$,
• Функція спадає на проміжку $(3, +\infty)$.

А для функції $y = x^2 + 8x + 3$:

• Функція спадає на проміжку $(-\infty, -4)$,
• Функція спадає на проміжку $(-4, 3)$,
• Функція зростає на проміжку $(3, +\infty)$.