Question

Найдите все действительные x , удовлетворяющие неравенству (1+x+x^2)(1+x+x^2+…+x1^0)=(1+x+x^2+…+x^6)^2

Answer 1

Ответ:  x ∈ {-1;0}

Объяснение:

$(1+x+x^2)(1+x+x^2+\ldots +x^{10})=(1+x+x^2+\ldots +x^6)^2$

Домножим обе части на (x-1)²

При этом, подстановкой  x = 1, убеждаемся что 1 не является корнем данного уравнения, поскольку правая часть уравнения полный квадрат, а левая нет

(1 + 1 +1²)(1 + 1² + ... + 1¹⁰) = 3·10 =30 ≠ k² ,  k ∈ N

Соответственно :

$(1+x+x^2)(x-1)(1+x+x^2+\ldots +x^{10})(x-1)=(1+x+x^2+\ldots +x^6)^2(x-1)^2 \\\\ (x^3 -1)(x^{11} -1) = (x^7 -1)^2 \\\\ x^{14} -x^{11} -x^3 + 1 = x^{14} -2x^7 + 1 \\\\ x^{11 }-2x^7 +x^3 =0 \\\\ x^3 (x^8 - 2x^4 + 1) = 0\\\\ x^3(x^4 -1)^2 =0 \\\\\ x^3 ((x-1)(x+1))^2(x^2 +1)^2 = 0 \Rightarrow x _1= 0 ~~ , ~~ x _2 =- 1$

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

У нас есть следующее неравенство:

(1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + ... + x^6) = (1 + x + x^2 + ... + x^6)^2

Правая сторона неравенства является квадратом суммы первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем x. Мы можем использовать формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

где:

• S_n - сумма первых n членов геометрической прогрессии,
• a - первый член прогрессии,
• r - знаменатель прогрессии.

В данном случае, a = 1 и r = x. Теперь мы можем записать сумму первых семи членов:

(1 + x + x^2 + ... + x^6) = 1 * (1 - x^7) / (1 - x)

Теперь у нас есть:

(1 + x + x^2)(1 - x^7) / (1 - x) = (1 - x^7)^2

Далее, мы можем умножить обе стороны на (1 - x) и упростить:

(1 + x + x^2)(1 - x^7) = (1 - x)(1 - x^7)^2

Теперь развернем правую сторону:

(1 + x + x^2)(1 - x^7) = (1 - x)(1 - x^7)(1 - x^7)

Теперь у нас есть две формулы, и мы можем исследовать их равенство:

1. 1 + x + x^2 = 1 - x
2. (1 - x^7) = (1 - x^7)^2

Давайте начнем с первой формулы:

1. 1 + x + x^2 = 1 - x

Мы видим, что x^2 и -x взаимно уничтожаются, поэтому остается:

x^2 = -x

Теперь рассмотрим вторую формулу:

2. (1 - x^7) = (1 - x^7)^2

Здесь у нас есть равенство, и его можно рассмотреть как:

1 - x^7 = (1 - x^7)(1 - x^7)

Теперь, если бы x^7 ≠ 1 (т.е., x^7 не равно 1), мы могли бы делить обе стороны на (1 - x^7), но это приведет к противоречию, так как осталась бы запись 1 = 0. Поэтому x^7 должно быть равно 1.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. x^2 = -x
2. x^7 = 1

Теперь найдем все действительные x, удовлетворяющие этим уравнениям.

Для уравнения x^2 = -x:

x^2 + x = 0

x(x + 1) = 0

Отсюда получаем два решения:

1. x = 0
2. x + 1 = 0 => x = -1

Для уравнения x^7 = 1:

x^7 - 1 = 0

(x - 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0

Здесь x = 1 - это одно решение, а уравнение x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 является уравнением седьмой степени.

Таким образом, у нас есть следующие действительные решения:

1. x = 0
2. x = -1
3. x = 1

Эти значения x удовлетворяют исходному неравенству:

(1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + ... + x^6) = (1 + x + x^2 + ... + x^6)^2

При x = 0 и x = -1 левая и правая стороны равны. При x = 1 обе стороны равны нулю.