Question

Как решить уравнение?(2x - 2) * sin(2x) + (x² - 2x + 3) * 2cos(2x) = 0​

Answer 1

Заметим что $\pi/2+\pi n$ не являются корнями приведенного уравнения и выполним замену $u = \tan x$

Тогда

$\displaystyle \sin 2x = \frac{2u}{1+u^2};\qquad \displaystyle \cos 2x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$

$\displaystyle (2x-2)\sin2x+(x^2-2x+3)\cdot 2\cos2x=0\\(x-1)\frac{2u}{1+u^2}+(x^2-2x+3)\frac{1-u^2}{1+u^2}=0\\u^2(x^2-2x+3)-2(x-1)u-(x^2-2x+3)=0$

При любом x коэффициент при $u^2$ положителен, поэтому перед нами стандартное квадратное уравнение

$D/4 = (x-1)^2+(x-2x+3)^2 = (x-1)^2+((x-1)^2+2)^2 = (x-1)^4+5(x-1)^2+4 = ((x-1)^2+1)((x-1)^2+4)$

$\displaystyle u=\tan x = \frac{x-1\pm\sqrt{((x-1)^2+1)((x-1)^2+4)}}{(x-1)^2+2}$

Данное трансцендентное уравнение аналитических решений не имеет, но его можно решать численно.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод подстановки и попытаться упростить его. Давайте начнем:

(2x - 2) * sin(2x) + (x² - 2x + 3) * 2cos(2x) = 0

Сначала заметим, что оба слагаемых в уравнении содержат множители sin(2x) и cos(2x). Давайте вынесем их за скобки:

sin(2x) * (2x - 2) + 2cos(2x) * (x² - 2x + 3) = 0

Теперь мы можем разложить sin(2x) и cos(2x) в произведении с использованием формулы двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

2sin(x)cos(x)(2x - 2) + 2(cos²(x) - sin²(x))(x² - 2x + 3) = 0

Теперь мы можем разделить уравнение на 2 для упрощения:

sin(x)cos(x)(2x - 2) + (cos²(x) - sin²(x))(x² - 2x + 3) = 0

Далее мы можем использовать тригонометрические тождества:

cos²(x) - sin²(x) = cos(2x)

Подставим это в уравнение:

sin(x)cos(x)(2x - 2) + cos(2x)(x² - 2x + 3) = 0

Теперь у нас есть уравнение с двумя слагаемыми. Давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

1. sin(x)cos(x)(2x - 2) = 0

Из этого слагаемого получается два возможных уравнения:

a. sin(x) = 0 b. cos(x)(2x - 2) = 0

2. cos(2x)(x² - 2x + 3) = 0

Теперь мы имеем два подуравнения:

a. sin(x) = 0

Решение этого уравнения - это x = 0.

b. cos(x)(2x - 2) = 0

Теперь разберемся с этим уравнением:

1. cos(x) = 0
2. 2x - 2 = 0

Для первого уравнения получаем:

cos(x) = 0

Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как cos(x) равен нулю в точках, где x = (π/2) + πn, где n - целое число.

Для второго уравнения получаем:

2x - 2 = 0

Решение этого уравнения:

2x = 2 x = 1

Теперь у нас есть несколько решений:

1. x = 0 (из уравнения sin(x) = 0)
2. x = 1 (из уравнения 2x - 2 = 0)
3. x = (π/2) + πn, где n - целое число (из уравнения cos(x) = 0)

Итак, решениями данного уравнения являются x = 0, x = 1, и x = (π/2) + πn, где n - целое число.