Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1. y= x^{2} +x ;y=x+12. y=0; y=-x^{2} -x+23. y=-x^{2} +x+6; y=x+24. y=4x- x^{2}; y=x

Answer 1

1)Найдем пределы интегрирования
x²+x=x+1⇒x²-1=0⇒x=-1 U x=1
s=S(-1;1)(1-x²)dx=x-x³/3=1-1/3+1-1/3=2-2/3=1 1/3кв ед
2)-x²-x+2=0⇒x²+x-2=0⇒x1+x2=-1 U x1*x2=2⇒x1=-2 U x2=1
s=S(-2;1)(-x²-x+2)dx=-x³/3-x²/2+2x=-1/3-1/2+2-8/3+2+4=8-3 1/2=4 1/2кв ед
3)-x²+x+6=x+2⇒x²-4=0⇒x=-2 U x=2
s=S(-2;2)(4-x²)dx=4x-x³/3=8-8/3+8-8/3=16-16/3=32/3=10 2/3кв ед
4)x=4x-x²⇒x²-3x=0⇒x(x-3)=0⇒x=0 U x=3
s=S(0;3)(3x-x²)dx=3x²/2-x³/3=27/2-27/3=27/6=9/2=4,5кв ед

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, сначала нужно найти точки их пересечения. Затем можно будет разбить эту фигуру на более мелкие фигуры и вычислить площадь каждой из них. Давайте начнем с поиска точек пересечения:

1. Начнем с линий y = x^2 + x и y = x + 12. Поставим их равными друг другу и решим уравнение: x^2 + x = x + 12

   Вычитаем x и 12 из обеих сторон: x^2 = 12

   Извлекаем корни: x = ±√12 x = ±2√3

   Теперь у нас есть две точки пересечения: (2√3, 2√3 + 12) и (-2√3, -2√3 + 12).

2. Теперь рассмотрим линии y = -x^2 - x + 23 и y = -x^2 + x + 6. Поставим их равными друг другу и решим уравнение: -x^2 - x + 23 = -x^2 + x + 6

   Уберем одинаковые слагаемые -x^2 с обеих сторон: -x - x + 23 = x + 6

   Упростим: -2x + 23 = x + 6

   Переносим все x на одну сторону: -2x - x = 6 - 23 -3x = -17

   Делим обе стороны на -3: x = 17/3

   Теперь у нас есть третья точка пересечения: (17/3, -x^2 - x + 23).

3. Наконец, рассмотрим линии y = 4x - x^2 и y = x. Поставим их равными друг другу и решим уравнение: 4x - x^2 = x

   Переносим все слагаемые на одну сторону: -x^2 + 4x - x = 0

   Упростим: -x^2 + 3x = 0

   Факторизуем: -x(x - 3) = 0

   Получаем два значения x: x = 0 и x = 3

   Теперь у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (3, 3).

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем разбить фигуру на несколько частей и вычислить их площади. Фигура будет ограничена следующими линиями:

1. y = x^2 + x, y = x + 12, y = 0, x-ось
2. y = -x^2 - x + 23, y = -x^2 + x + 6, y = x + 24, x = 17/3
3. y = 4x - x^2, y = x, x = 0, x = 3

Площадь каждой из этих частей может быть вычислена, например, с использованием метода интегралов, если мы предполагаем, что они все находятся над осью x. Если вы хотите конкретные значения площадей, пожалуйста, уточните, где именно вас интересует вычисление площадей.