Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=e^-2x, проведенной через точку пересечения его с осью ординат.

Answer 1

Сначала найдем точку касания. Сказано, что это точка пересечения данной функции с осью ординат. Значит в этой точке х = 0. Ищем ординату этой точки (у):
у(0) = e^(0) = 1. Получается, что точка касания имеет координаты: (0, 1).
Уравнение касательной в общем виде в точке (x0, y0):
$y_{kac} = y(x0)+ y'(x0)*(x - x0)$
В нашем случае х0 = 0, у(х0) = 1, то есть касательная такая:
$y_{kac} = 1+ y'(0)*(x - 0)$
Находим y'(x):
y'(x) = (e^-2x)' = -2e^-2x
y'(0) = -2e^0 = -2
Касательная выглядит так:
$y_{kac} = 1 - 2*(x - 0)$
$y_{kac} = -2x + 1$

Ответ: $y_{kac} = -2x + 1$

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции y = e^(-2x), проведенной через точку пересечения с осью ординат, мы должны найти производную функции и затем использовать ее значение в точке пересечения с осью ординат.

1. Начнем с нахождения производной функции y = e^(-2x). Используя правило дифференцирования экспоненты, получим:

dy/dx = -2e^(-2x)

2. Теперь найдем значение производной в точке пересечения с осью ординат, которая имеет координаты (0, 0):

dy/dx |_(x=0) = -2e^(-2*0) = -2 * 1 = -2

3. Теперь у нас есть наклон (или угловой коэффициент) касательной, который равен -2. Мы также знаем, что касательная проходит через точку (0, 0).

Используя формулу для уравнения прямой вида y = mx + b, где m - наклон (в данном случае -2), а b - y-координата точки пересечения с осью ординат (0), получаем:

y = -2x + 0

Упрощая это уравнение, получим:

y = -2x

Итак, уравнение касательной к графику функции y = e^(-2x), проведенной через точку пересечения с осью ординат, равно y = -2x.