Question

В конечной геометрической прогрессии указаны первый член b1,знаменатель q и сумма Sn,всех её членов.Найдите число членов прогрессии: а) b1=5,q=3,Sn=200;Покажите полное решение.

Answer 1

Sn=S1*(q^n-1)/(q-1) 200=5*(3^n-1)/2 3^n-1=80 3^n=81=3^4 n=4

Answer 2

Давайте воспользуемся формулами для суммы всех членов геометрической прогрессии:

1. Сумма всех членов прогрессии:

$S_n = \frac{{b_1 \cdot (q^n - 1)}}{{q - 1}}$

где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии
• $b_1$ - первый член прогрессии
• $q$ - знаменатель прогрессии
• $n$ - количество членов прогрессии

2. Мы имеем $b_1 = 5$, $q = 3$ и $S_n = 200$.

Подставим эти значения в уравнение:

$200 = \frac{{5 \cdot (3^n - 1)}}{{3 - 1}}$

$200 = \frac{{5 \cdot (3^n - 1)}}{2}$

$400 = 5 \cdot (3^n - 1)$

$80 = 3^n - 1$

$3^n = 81$

Теперь найдем значение $n$, используя логарифмы:

$n = \log_3(81) = 4$

Таким образом, в данной геометрической прогрессии 4 члена.