Question

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y= 1/3 x^3 - 3/2 x^2 + 1 на отрезке [-1;1]

Answer 1

$y= \frac{1}{3} x^3- \frac{3}{2} x^2+1 \\ y'(x)=x^2-3x$
Критических точек у производной нет,поэтому найдем стационарные точки.
$x^2-3x=0 \\ x(x-3)=0 \\ \left \{ {{x=0} \atop {x=3}} \right.$
На отрезке [-1;1] лежит только точка  $x=0$ , тогда начертим числовую прямую и расставим на ней знаки 
_________-1_____+_____0_____-_____1____________>
При этом нужно помнить,что нас интересует только отрезок [-1;1].
В точке 0 меняется знак с + на -, тогда 0-точка максимума и в ней функция принимает свое наибольшее значение
$y(0)= \frac{1}{3} *0- \frac{3}{2} *0+1=1$
В точках -1 и 1 функция принимает свое наименьшее значение
$y(1)= \frac{1}{3} - \frac{3}{2} +1= \frac{1}{6} \\ y(-1)=-\frac{1}{3} - \frac{3}{2} +1=-\frac{1}{3}--\frac{1}{2}= - \frac{5}{6}$
Ответ: y(наименьшее)= $\frac{1}{6}$ или y(наим)= $-\frac{5}{6}$
y(наибольшее)=1

Answer 2

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1$ на отрезке [-1;1], нам нужно:

1. Найти критические точки функции в этом интервале, где значение производной равно нулю или не существует.
2. Вычислить значения функции в этих критических точках, а также на концах интервала.

Давайте начнем с поиска критических точек. Сначала найдем производную функции $y$ и приравняем ее к нулю:

$y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1$

$y' = x^2 - 3x$

Теперь приравняем $y'$ к нулю и решим уравнение:

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = 0$ и $x = 3$. Теперь вычислим значения функции $y$ в этих точках и на концах интервала [-1;1]:

1. $x = -1$: $y = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 + 1 = -\frac{5}{6}$
2. $x = 0$: $y = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + 1 = 1$
3. $x = 1$: $y = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + 1 = -\frac{5}{6}$
4. $x = 3$: $y = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 + 1 = -\frac{8}{3}$

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале [-1;1] равно -5/6 (достигается в точках x = -1 и x = 1), а наибольшее значение равно -8/3 (достигается в точке x = 3).