Question

Доказать, что функция монотонна на всей числовой прямой; указать характер монотонности y=sinx-2x-15

Answer 1

Найдем производную
$f'(x)=cosx-2$
cosx изменяется [-1;1]. Взяв даже самое наибольшее значение cos= 1,  $f'(x)=1-2=-1$ Поэтому  $f'(x)$ при любом х. А это значит, что функция монотонна и убывает на всей области определения. Что и требовалось доказать. 

Answer 2

Чтобы доказать монотонность функции $y = \sin(x) - 2x - 15$ на всей числовой прямой, мы должны проанализировать ее производную и определить знак этой производной на всем интервале $-\infty, +\infty$.

Сначала найдем производную этой функции $y$:

$y'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x) - 2x - 15)$

Используя правило дифференцирования для синуса $\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$ и для константы $\frac{d}{dx}(-15) = 0$, а также правило дифференцирования для $2x$ $\frac{d}{dx}(2x) = 2$, получаем:

$y'(x) = \cos(x) - 2$

Теперь давайте определим знак $y'(x)$ на всей числовой прямой.

1. Знак $\cos(x)$:

   • $\cos(x) > 0$ в первом и четвертом квадрантах ($0 < x < \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi, \ldots$).
   • $\cos(x) < 0$ во втором и третьем квадрантах ($\frac{\pi}{2} < x < \pi, \pi < x < \frac{3\pi}{2}, \ldots$).

2. Знак $\cos(x) - 2$:

   • Если $\cos(x) > 2$, то $\cos(x) - 2 > 0$.
   • Если $\cos(x) < 2$, то $\cos(x) - 2 < 0$.

Таким образом, мы видим, что производная $y'(x)$ меняет знак в точке $\cos(x) = 2$, то есть при $x = \arccos(2)$. Однако, так как $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ для любого $x$, то $\cos(x) = 2$ не имеет решения в действительных числах.

Из этого следует, что производная $y'(x)$ всегда будет либо положительной ($\cos(x) - 2 > 0$) на всей числовой прямой, либо отрицательной ($\cos(x) - 2 < 0$) на всей числовой прямой.

Таким образом, функция $y = \sin(x) - 2x - 15$ монотонна на всей числовой прямой. Это означает, что она либо всегда возрастает, либо всегда убывает, и нет точек локального экстремума.