Question

Найти при каких значениях x и y выражение А= x2+2xy +2y2+2x +4y+3 принимает наименьшее значение.

Answer 1

X²+2xy+2y²+2x+4y+3=(x²+2xy+y²)+(y²+4y+4)+(2x-1)=(x+y)²+(y+2)²+(2x-1)
наименьшее значение, когда квадраты равны нулю, тогда y=-2, x=2
дальше подставляем и находим 2*2-1=3

Answer 2

Чтобы найти минимальное значение выражения A = x^2 + 2xy + 2y^2 + 2x + 4y + 3, мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления. Для этого найдем частные производные по x и y и приравняем их к нулю:

Частная производная по x (dA/dx): dA/dx = 2x + 2y + 2

Частная производная по y (dA/dy): dA/dy = 2x + 4

Теперь приравняем обе частные производные к нулю и решим полученные уравнения:

1. 2x + 2y + 2 = 0
2. 2x + 4 = 0

Из уравнения (2) можно выразить x: 2x = -4 x = -2

Теперь, подставив значение x в уравнение (1), найдем y: 2(-2) + 2y + 2 = 0 -4 + 2y + 2 = 0 2y = 4 y = 2

Таким образом, минимальное значение выражения A достигается при x = -2 и y = 2.