Question

2sin(пи/2-x)cos5x+2sin5x×cos(пи/2+x)=корень из 3 помогите, пожалуйста

Answer 1

2cosxcos5x+2sin5x*(-sinx)=√3
cos(5x+x)=√3/2
6x=+-π/6+2πт
x=+-π/36+πn/3

Answer 2

Давайте разберем это уравнение шаг за шагом. У нас есть следующее уравнение:

$2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos(5x) + 2\sin(5x)\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \sqrt{3}.$

Для начала, воспользуемся формулами для синуса и косинуса разности углов:

$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin\frac{\pi}{2}\cos x - \cos\frac{\pi}{2}\sin x = \cos x,$

и

$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos\frac{\pi}{2}\cos x - \sin\frac{\pi}{2}\sin x = -\sin x.$

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

$2\cos x\cos(5x) - 2\sin x\sin(5x) = \sqrt{3}.$

Используем формулу для косинуса разности углов:

$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B.$

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$2\cos(5x - x) = \sqrt{3}.$

Упростим выражение:

$2\cos(4x) = \sqrt{3}.$

Теперь, чтобы избавиться от множителя 2, поделим обе стороны уравнения на 2:

$\cos(4x) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Теперь нам нужно найти угол $4x$, для которого $\cos(4x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это происходит в двух случаях: когда $4x$ равен углам, находящимся в первом и четвертом квадрантах, где косинус положителен и равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

В первом квадранте $\cos(4x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углам, кратным $60^\circ$, а в четвертом квадранте это углы, кратные $60^\circ$ плюс $180^\circ$.

Таким образом, у нас есть два набора решений:

1. $4x = 60^\circ + 360^\circ \cdot k_1$, где $k_1$ - целое число.
2. $4x = 240^\circ + 360^\circ \cdot k_2$, где $k_2$ - целое число.

Теперь разделим оба уравнения на 4, чтобы найти значения $x$:

1. $x = 15^\circ + 90^\circ \cdot k_1$.
2. $x = 60^\circ + 90^\circ \cdot k_2$.

Таким образом, у нас есть бесконечно много решений в виде:

1. $x = 15^\circ + 90^\circ \cdot k_1$, где $k_1$ - целое число.
2. $x = 60^\circ + 90^\circ \cdot k_2$