Question

Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства log0,3 (x +54)《 2log0,3 ( x-2) 0,3 - маленькие цифры))

Answer 1

$log_{0.3}(x+54) \leq 2log_{0.3}(x-2)$

ОДЗ:
$\left \{ {{x+54>0} \atop {x-2>0}} \right.$
$\left \{ {{x>-54} \atop {x>2}} \right.$
$x>2$

$log_{0.3}(x+54) \leq log_{0.3}(x-2)^{2}$ - т.к. основания логарифмов меньше 1, то выражения сравниваются с противоположным знаком

$(x+54) \geq (x-2)^{2}$
$x+54 \geq x^{2}-2*2x+4$
$x^{2}-4x+4-x-54 \leq 0$

$x^{2}-5x-50 \leq 0$
$x^{2}-5x-50=0, D=25+4*50=225=15^{2}$
$x_{1}=\frac{5-15}{2}=-\frac{10}{2}=-5$
$x_{2}=\frac{5+15}{2}=\frac{20}{2}=10$

Решаем неравенство методом интервалов, получается:
$-5 \leq x \leq 10$

Наложим на получившееся решение условие ОДЗ:
$2$

Наименьшее целое решение неравенства: 3
Наибольшее целое решение неравенства: 10
Их сумма равна: 3+10=13

Ответ: 13

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство и найдем его решения. Начнем с переписывания неравенства:

log0.3(x + 54) < 2log0.3(x - 2)

Теперь мы можем воспользоваться свойствами логарифмов, чтобы упростить неравенство:

log0.3(x + 54) < log0.3((x - 2)^2)

Используем свойство логарифма, что log_a(b) < log_a(c) эквивалентно b < c:

x + 54 < (x - 2)^2

Теперь раскроем квадрат:

x + 54 < x^2 - 4x + 4

Перенесем все элементы на одну сторону:

0 < x^2 - 5x - 50

Теперь мы имеем квадратное уравнение в виде неравенства. Чтобы найти его корни, давайте сначала найдем корни уравнения:

x^2 - 5x - 50 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня:

x = (5 ± √(5^2 + 4150)) / (2*1)

x = (5 ± √(25 + 200)) / 2

x = (5 ± √225) / 2

x = (5 ± 15) / 2

Таким образом, у нас есть два корня:

x1 = (5 + 15) / 2 = 10 x2 = (5 - 15) / 2 = -5

Теперь у нас есть два корня: x1 = 10 и x2 = -5.

Наименьшее целое решение: -5 Наибольшее целое решение: 10

Сумма наименьшего и наибольшего целых решений: -5 + 10 = 5.