Question

Помогите, пожалуйста. Решить неравенство f ' (x) меньше или равно 0, где f(x)=х в кубе 9х в квадрате + 24х -18

Answer 1

f(x)=х³-9х² + 24х -18
f ' (x) =3x²-18x+24
3x²-18x+24≤0
x²-6x+8≤0
(x-2)(x-4)≤0
___+____2_____-____4______+___x
Ответ: x ∈(-∞;] и [4;+∞)

Answer 2

Давайте найдем производную функции f(x) и затем решим неравенство f'(x) ≤ 0:

f(x) = x^3 + 9x^2 + 24x - 18

Сначала найдем производную f'(x):

f'(x) = 3x^2 + 18x + 24

Теперь давайте решим неравенство f'(x) ≤ 0. Для этого найдем корни уравнения f'(x) = 0 и определим интервалы, на которых f'(x) меняет знак.

3x^2 + 18x + 24 = 0

Для начала делим уравнение на 3:

x^2 + 6x + 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x + 2)(x + 4) = 0

Отсюда получаем два корня:

x + 2 = 0 => x1 = -2 x + 4 = 0 => x2 = -4

Теперь определим знак производной f'(x) на интервалах:

1. x < -4: Выберем x = -5 (любое число меньше -4). Подставим в f'(x):

   f'(-5) = 3(-5)^2 + 18(-5) + 24 = 75 - 90 + 24 = 9

   Значит, на интервале x < -4, производная положительна (f'(x) > 0).

2. -4 < x < -2: Выберем x = -3 (любое число между -4 и -2). Подставим в f'(x):

   f'(-3) = 3(-3)^2 + 18(-3) + 24 = 27 - 54 + 24 = -3

   Значит, на интервале -4 < x < -2, производная отрицательна (f'(x) < 0).

3. x > -2: Выберем x = 0 (любое число больше -2). Подставим в f'(x):

   f'(0) = 3(0)^2 + 18(0) + 24 = 24

   Значит, на интервале x > -2, производная положительна (f'(x) > 0).

Итак, производная f'(x) меняет знак с положительного на отрицательный на интервале -4 < x < -2, и с отрицательного на положительный на интервале x > -2.

Теперь давайте объединим интервалы, на которых f'(x) ≤ 0:

-4 < x ≤ -2

Таким образом, решение неравенства f'(x) ≤ 0:

f'(x) ≤ 0 при -4 < x ≤ -2.