Question

1) вычислить cos123cos57-sin123sin57 2) зная, что cos t = 4/5, 0 < t < pi/2, вычислите sin (pi/3 + t)

Answer 1

$1) cos(123+57)=cos180=-1$

$2) sint=3/5$

это очевидно, т.к египетский треугольник со сторонами 3,4,5

$sin(\pi/3+t)=sin\pi/3*cost+sint*cos\pi/3= \frac{4\sqrt{3} +3}{10}$

Answer 2

Давайте начнем с первого вопроса:

1. Вычислить cos(123)cos(57) - sin(123)sin(57).

Для этого нам пригодится тригонометрическая формула для разности углов cos(A - B):

cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)

В данном случае:

A = 123 градуса B = 57 градусов

cos(123)cos(57) - sin(123)sin(57) = cos(123 - 57)

Теперь вычислим разность углов:

123 - 57 = 66 градусов

Теперь мы можем использовать формулу для cos(66):

cos(66) ≈ 0.4067

Ответ: cos(123)cos(57) - sin(123)sin(57) ≈ 0.4067

Теперь перейдем ко второму вопросу:

2. Зная, что cos(t) = 4/5, 0 < t < π/2, вычислите sin(π/3 + t).

Мы знаем, что cos(t) = 4/5, поэтому мы можем найти sin(t) с помощью тождества Пифагора:

sin(t) = √(1 - cos^2(t))

sin(t) = √(1 - (4/5)^2)

sin(t) = √(1 - 16/25)

sin(t) = √(9/25)

sin(t) = 3/5

Теперь нам нужно вычислить sin(π/3 + t). Мы знаем, что π/3 равно 60 градусам, поэтому:

sin(π/3 + t) = sin(60 + t)

Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу для суммы углов sin(A + B):

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

В данном случае:

A = 60 градусов B = t

sin(π/3 + t) = sin(60 + t) = sin(60)cos(t) + cos(60)sin(t)

Мы знаем, что sin(60) = √3/2 и cos(60) = 1/2:

sin(π/3 + t) = (√3/2) * (4/5) + (1/2) * (3/5)

sin(π/3 + t) = (2√3/5) + (3/10)

sin(π/3 + t) = (2√3 + 3)/10

Ответ: sin(π/3 + t) = (2√3 + 3)/10