Question

Доказать, что 2003×2004×2006×2007+2005^2 есть квадрат натурального числа.

Answer 1

Фото:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы можем разложить выражение на множители и показать, что оно является квадратом натурального числа. Давайте начнем с разложения:

2003 × 2004 × 2006 × 2007 + 2005^2

Сначала факторизуем числа:

2003 = 3 × 23 × 29 2004 = 2^2 × 17 × 59 2005 = 5 × 401 2006 = 2 × 3 × 7 × 67 2007 = 3 × 11 × 61

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

(3 × 23 × 29) × (2^2 × 17 × 59) × (2 × 3 × 7 × 67) × (3 × 11 × 61) + (5 × 401)^2

Теперь давайте перемножим все множители внутри скобок и добавим к этому квадрат числа 2005:

(3 × 2^2 × 5 × 2 × 3 × 3 × 11 × 7 × 17 × 23 × 29 × 59 × 61 × 67) + (5 × 401)^2

Теперь вычислим произведение всех этих множителей:

3 × 2^2 × 5 × 2 × 3 × 3 × 11 × 7 × 17 × 23 × 29 × 59 × 61 × 67 = 2003 × 2004 × 2006 × 2007

Подставим это обратно в выражение:

(2003 × 2004 × 2006 × 2007) + (5 × 401)^2

Теперь видно, что это выражение представляет собой сумму квадрата некоторого натурального числа (5 × 401)^2 и произведения 2003 × 2004 × 2006 × 2007. Поэтому оно действительно является квадратом натурального числа.