Question

В десятичной записи натурального числа N содержиться только 2006 единиц, 2006 двоек, 2006 троек и 2006 четвёрок. Может ли число N+1 быть простым?

Answer 1

Т.к. число N не содержит в своей записи девяток, то число N+1 будет отличаться от него лишь одной последней цифрой, причем эта цифра будет больше соответствующей цифры в исходном числе ровно на 1.

Сумма цифр исходного числа равна 2006(1+2+3+4)=2006*(3+3+3)+2006=3*3*2006+3*668+2. Значит сумма цифр N даёт остаток 2 при делении на 3. Тогда сумма цифр числа N+1 даёт остаток 0 при делении на 3, а значит и само число делится на 3. Тогда, учитывая, что цифр в числе больше одной, это число не простое.

Ответ: нет

Answer 2

Давайте разберемся в данной задаче. Пусть число N состоит из 2006 единиц, 2006 двоек, 2006 троек и 2006 четверок в десятичной записи. Мы можем записать это число как:

N = 111... (2006 раз) ...111222... (2006 раз) ...222333... (2006 раз) ...333444... (2006 раз) ...444.

Давайте рассмотрим число N+1:

N + 1 = 111... (2006 раз) ...111222... (2006 раз) ...222333... (2006 раз) ...333444... (2006 раз) ...445.

Мы заметили, что в десятичной записи числа N+1 мы заменили последнюю цифру (4) на 5.

Теперь давайте обратим внимание на описание чисел N и N+1:

• Число N делится на 3, потому что 1+2+3+4=10, что делится на 3. Следовательно, все составляющие его цифры также делятся на 3, и само число N тоже делится на 3.

• Теперь рассмотрим число N+1. Если сложить все его цифры, то получим: 1+2+3+4+5=15, что делится на 3. По аналогии с предыдущим случаем, число N+1 также делится на 3.

Теперь у нас есть два ключевых факта:

1. Число N делится на 3.
2. Число N+1 также делится на 3.

Из этого следует, что оба числа имеют общий делитель 3 больше единицы. Таким образом, число N+1 не может быть простым числом, так как оно имеет делитель, отличный от 1 и самого числа.

Ответ: Число N+1 не может быть простым числом.