Question

Найти производные функций:y=x^3sin2x-e^cosx x+y=sin(xy)

Answer 1

Y =x³sin2x - e^cosx ;
y '=(x³sin2x - e^cosx ) = (x³sin2x )'- (e^cosx )' =(x³)'*sin2x+x³*(sin2x)' -e^cosx *(cosx)'=
3x²*sin2x +x³*cos2x *(2x)' -e^cosx*(-sinx) '= 3x²*sin2x +2x³*cos2x+ e^cosx*sinx.
------------
x+y =sin(xy) ; * * * неявная функция * * *
(x+y)' =(sin(xy)) ' ;
1+y ' =cos(xy) *(xy)'  ; 
1+y ' = cos(xy) *(y +x*y');
1+y ' = ycos(xy) +xcos(xy) *y ' ;
y '(1- xcos(xy) ) =ycos(xy) -1 ;
y ' =(ycos(xy)-1) /(1-xcos(xy) .

Answer 2

Для нахождения производных функций, представленных вами, мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте начнем с первой функции:

1. y = x^3sin(2x) - e^cos(x)

Для нахождения производной этой функции по x используем правила дифференцирования:

y' = (x^3sin(2x))' - (e^cos(x))'

Используем правило производной произведения для первого слагаемого и правило производной экспоненты для второго слагаемого:

y' = (3x^2sin(2x) + x^3 * 2cos(2x)) - (-e^cos(x) * sin(x))

y' = 3x^2sin(2x) + 2x^3cos(2x) + e^cos(x) * sin(x)

Теперь перейдем ко второй функции:

2. x + y = sin(xy)

Для нахождения производной этой функции по x, нам потребуется явно выразить y:

y = sin(xy) - x

Теперь мы можем найти производную y по x, используя правило дифференцирования суммы:

y' = (sin(xy) - x)'

Используем правило производной синуса и производной по композиции функций:

y' = (cos(xy) * (y'x + y)) - 1

Теперь мы можем подставить y' и продолжить упрощение:

y' = (cos(xy) * (cos(xy) * (y'x + y)) - 1

Здесь y'x - это производная y по x, которую мы хотим найти. Мы можем решить это уравнение относительно y'x:

y'x = (cos(xy) * cos(xy) * (y'x + y)) - 1

Теперь мы можем решить это уравнение относительно y'x:

y'x - cos(xy)^2 * y'x = cos(xy)^2 * y - 1

y'x(1 - cos(xy)^2) = cos(xy)^2 * y - 1

y'x = (cos(xy)^2 * y - 1) / (1 - cos(xy)^2)

Таким образом, мы нашли производную y по x для второй функции.