Question

Является ли линейным подпространством соответствующего линейного пространства множество n-мерных векторов,у которых координаты с четными номерами равны 0

Answer 1

Да. Так как это подпространство линейного пространства, достаточно проверить, что для любых двух элементов V, U этого подпространства U+V принадлежит ему (0+0=0), точно так же как и aV для любого a из поля (a*0=0)

Answer 2

Да, множество n-мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны 0, является линейным подпространством соответствующего линейного пространства. Для того чтобы доказать это, давайте рассмотрим два важных свойства линейных подпространств:

1. Замкнутость относительно сложения: Если вы берете два вектора из этого множества и складываете их, результат также должен быть в этом множестве. Давайте проверим это:

   Пусть у нас есть два вектора A и B из множества, где координаты с четными номерами равны 0. Пусть A = (a₁, a₂, ..., aₙ) и B = (b₁, b₂, ..., bₙ). Тогда сумма A + B будет иметь следующий вид:

   (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ).

   Все координаты с нечетными номерами равны нулю, поэтому сумма A + B также будет иметь координаты с четными номерами, равные 0. Следовательно, A + B также принадлежит исходному множеству.

2. Замкнутость относительно умножения на скаляр: Если вы берете вектор из множества и умножаете его на скаляр, результат также должен быть в этом множестве. Это тривиально верно, так как если все координаты с четными номерами равны 0, то их умножение на любой скаляр также даст координаты с четными номерами, равные 0.

Исходя из этих двух свойств, можно заключить, что множество n-мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны 0, является линейным подпространством соответствующего линейного пространства.