Question

Доказать, что векторы ¬p = 3i - 2j + k, ¬q = -i + j - 2k, ¬r = 2i + j - 3k образуют базис линейного пространства V³ (линейного пространства свободных векторов плоскости).

Answer 1

Ответ: образует базис

Объяснение: во вложение  

Answer 2

Для доказательства того, что векторы ¬p, ¬q и ¬r образуют базис линейного пространства V³, нам нужно проверить два условия:

1. Линейная независимость: Векторы должны быть линейно независимыми, то есть не существует нетривиальных линейных комбинаций, которые равны нулевому вектору.
2. Число векторов должно равняться размерности пространства V³, то есть 3.

Давайте проверим оба условия:

1. Линейная независимость: Для этого предположим, что существуют числа α, β и γ, не равные нулю, такие что: α¬p + β¬q + γ¬r = 0

где 0 - нулевой вектор. Это можно записать в виде:

α(3i - 2j + k) + β(-i + j - 2k) + γ(2i + j - 3k) = 0

Раскроем скобки:

(3α - β + 2γ)i + (-2α + β + γ)j + (α - 2β - 3γ)k = 0

Так как векторы линейно независимы, то коэффициенты при i, j и k должны равняться нулю:

Система уравнений:

3α - β + 2γ = 0 (1) -2α + β + γ = 0 (2) α - 2β - 3γ = 0 (3)

Чтобы найти ненулевое решение этой системы, определитель матрицы коэффициентов должен быть равен нулю:

| 3 -1 2 | | -2 1 1 | | 1 -2 -3 | = 0

Вычислим определитель:

det = 3(1 * (-3) - 1 * (-2)) - (-1)(-2 * (-3) - 1 * 1) + 2(1 * (-2) - (-2) * 1) det = 3(-3 + 2) - (-1)(-6 - 1) + 2(-2 + 2) det = 3( -1) - (-1)(-7) + 2(0) det = -3 + 7 + 0 det = 4

Так как определитель не равен нулю (det ≠ 0), система уравнений имеет только тривиальное решение (α = β = γ = 0), что означает, что векторы ¬p, ¬q и ¬r линейно независимы.

2. Количество векторов равно размерности пространства V³: Векторы ¬p, ¬q и ¬r состоят из трех компонент, а пространство V³ состоит из всех трехмерных векторов. Таким образом, количество векторов соответствует размерности пространства.

Таким образом, векторы ¬p, ¬q и ¬r образуют базис линейного пространства V³.