Question

Даны векторы a1, a2, a3, a4 и b. Показать, что векторы a1, a2, a3, a4 образуют базис четырехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе. a1 4;43;0;2, a2 -17;24;1;1, a3 -6;-1;2;0, a4 -5;3;1;0, b -9;10;1;1

Answer 1

Решать лень, вот фото подробного решения аналогичного примера, почерк корявый правда,ну думаю разберешься

Answer 2

Для того чтобы показать, что векторы a1, a2, a3, a4 образуют базис четырехмерного пространства, необходимо доказать их линейную независимость и полноту.

1. Линейная независимость: Предположим, что векторы a1, a2, a3, a4 линейно зависимы, т.е. существуют такие коэффициенты c1, c2, c3 и c4, не все из которых равны нулю, что выполняется линейная комбинация: c1*a1 + c2*a2 + c3*a3 + c4*a4 = 0.

Распишем компоненты этого равенства: c1*(-4) + c2*(-17) + c3*(-6) + c4*(-5) = 0, 43*c1 + 24*c2 - c3 + 3*c4 = 0, c2 - 2*c3 + c4 = 0, 2*c1 + c2 + 2*c3 + a4 = 0.

Для того чтобы данная линейная комбинация была равна нулю, необходимо, чтобы все ее коэффициенты были равны нулю: -4*c1 - 17*c2 - 6*c3 - 5*c4 = 0, 43*c1 + 24*c2 - c3 + 3*c4 = 0, c2 - 2*c3 + c4 = 0, 2*c1 + c2 + 2*c3 + a4 = 0.

Из данной системы уравнений можно составить матрицу:

| -4 -17 -6 -5 | | 43 24 -1 3 | | 0 1 -2 1 | | 2 1 2 0 |

Применив элементарные преобразования строк к матрице, определим её ранг. Если ранг матрицы равен 4, то система уравнений будет иметь только тривиальное решение (все коэффициенты равны нулю) и векторы a1, a2, a3, a4 будут линейно независимыми. Если ранг матрицы меньше 4, то найдется нетривиальное решение системы, что будет означать линейную зависимость векторов.

Воспользуемся методом Гаусса и приведем данную матрицу к ступенчатому виду:

| -4 -17 -6 -5 | | 43 24 -1 3 | | 0 1 -2 1 | | 2 1 2 0 |

Выразим новые строки через исходные для сохранения исходной информации:

| 1 17/4 3/2 5/4 | | 0 119 83 317/4 | | 0 1 -2 1 | | 0 -5 -8 -9/4 |

Применив обратные элементарные преобразования:

| 1 0 0 13159/476 | | 0 1 0 -3/476 | | 0 0 1 0 | | 0 0 0 0 |

Так как в последней строке мы получили 0 = 0, система является совместной и имеет бесконечное количество решений, что означает, что векторы a1, a2, a3, a4 являются линейно зависимыми. Следовательно, они не могут образовывать базис четырехмерного пространства.

2. Координаты вектора b в данном базисе: Поскольку векторы a1, a2, a3, a4 не могут образовывать базис пространства, мы не можем найти координаты вектора b в этом базисе.