Question

Даны координаты четырех точек А(0,80)B(2,-1,0) C(3,0,1) M(2,1,-1) Требуется:1)составить уравнение плоскости,проходящей через точки A,B,C 2)составить каноноческие уравнения прямой,проходящей через точку M,перпендикулярно плоскости Q 3)найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Qи с координатными плоскостями xOy,xOz,yOz 4)Найти расстояние от точки M до плоскости Q

Answer 1

1) Составить уравнение плоскости,проходящей через точки A,B,C.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
|   x - xA     y - yA    z - zA |
|xB - xA   yB - yA  zB - zA |
|xC - xA  yC - yA   zC - zA |= 0
Подставим данные и упростим выражение:
|x - 0       y - 8       z - 0|  
|2 - 0    (-1) - 8     0 - 0|
|3 - 0       0 - 8     1 - 0 |= 0

|x - 0  y - 8   z - 0|
|   2      -9       0   |
|   3       -8       1  | = 0

(x - 0)(-9·1-0·(-8)) - (y - 8)(2·1-0·3) + (z - 0)(2·(-8)-(-9)·3) = 0
(-9)(x - 0) + (-2)(y - 8) + 11(z - 0) = 0 
- 9x - 2y + 11z + 16 = 0

Без определителей надо решить систему из трёх уравнений:
Уравнение плоскости:
A · x + B · y + C · z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1 + B · y1 + C · z1 + D = 0 ,
A · x2 + B · y2 + C · z2 + D = 0 ,
A · x3 + B · y3 + C · z3 + D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (0) + B · (8) + C · (0) + D = 0 ,
A · (2) + B · (-1) + C · (0) + D = 0 ,
A · (3) + B · (0) + C · (1) + D = 0 .

Получим уравнение плоскости:
- 9 · x - 2 · y + 11 · z + 16 = 0 .

2) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M, перпендикулярно плоскости Q.
В общем уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0,  вектор N→=(A;B;C) - вектор нормали к плоскости. В найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты N→=(−9;-2;11)
Вспомним каноническое уравнение прямой (x−x0)/m=(y−y0)n=
(z−z0)p(1), где координаты (x0;y0;z0) - координаты точки, принадлежащей прямой, согласно условия задачи это точка М( 2; 1; -1).
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости Q: (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11.

3) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy,xOz,yOz
Уравнение прямой через точку M перпендикулярно плоскости Q: (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11 в параметрическом виде  (x−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11=t.
Выразим переменные через t:
x = -9t + 2
y = -2t + 1
z = 11t - 1 и подставим в уравнение плоскости:
- 9(-9t + 2) - 2(-2t + 1) + 11(11t - 1) + 16 = 0
81t - 18 + 4t - 2 + 121t - 11 + 16 = 0
206t - 15  = 0
t = 15 / 206 =  0.072816.
Координаты точки пересечения :
x = -9t + 2 = 1.3446602 ,
y = -2t + 1 = 0.8543689,
z = 11t - 1 = -0.199029.

Найдем точки пересечения прямой с координатными плоскостями: 
точка пересечения прямой с плоскостью xOy; z=0,
 (x−2)/−9=(y-1)/-2=(0+1)/11=> (x−2)/−9=(y-1)/-2=1/11  запишем систему уравнений:
(x−2)/−9 = 1/11
11х - 22 = -9
х = (22 - 9) / 11 = 13 / 11 =  1.181818.

(y-1)/-2 = 1/11
11у - 11 = -2
у = (-2 + 11) / 11 = 9 / 11 =  0.818182.

z = 0.

Точка пересечения прямой с плоскостью xOz; y=0,
 (x−2)/−9=(0-1)/-2=(z+1)/11 =>  запишем систему уравнений:
(x−2)/−9=(0-1)/-2 = 1/2
2х - 4 = -9
х = (-9 + 4) / 2 =-5 / 2 = -2,5.

(z+1) / 11 = 1/2
2z + 2 = 11
z = (11 - 2) / 2 = 9 / 2 = 4,5/

y = 0.

Точка пересечения прямой с плоскостью yOz; x=0, 
(0−2)/−9=(y-1)/-2=(z+1)/11=> (y-1)/-2=(z+1)/11 = 2/9  запишем систему уравнений:
(y-1) / -2 = 2 / 9
9у - 9 = -4
у = (9 - 4) / 9 = 5 / 9 =  0.555556.

(z +1) / 11 = 2 / 9
9z+ 9 = 22
z = (22 - 9) / 9 = 13 / 9 =  1.444444.

x = 0.

4)Найти расстояние от точки M до плоскости Q.
Расстояние от точки M(x0;y0;z0) до плоcкости рассчитывается по формуле d=(|Ax0+By0+Cz0+D|) / √(A²+B²+C²),
где  Ax0+By0+Cz0+D - общее уравнение плоскости,
x0;y0;z0 - координаты точки M(x0;y0;z0)
Рассмотрим уравнение плоскости Q: - 9x - 2y + 11z + 16 = 0 - общее уравнение плоскости.
A=−9;B=-2;C=11D=16
Координаты точки M(2;1;−1).
Подставим в формулу данныеd = |-9·2 + (-2)·1 + 11·(-1) + 16| = |-18 - 2 - 11 + 16| =√(-9)2 + (-2)2 + 112√81 + 4 + 121= 15 = 15√206 ≈ 1.0450995214374266.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым пунктом по очереди:

1. Уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C. Для этого используем уравнение плоскости в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0

Где A, B, C и D - коэффициенты, которые мы должны найти.

Так как плоскость проходит через точки A(0, 0, 80), B(2, -1, 0) и C(3, 0, 1), мы можем использовать эти точки для нахождения коэффициентов:

A * 0 + B * 0 + C * 80 + D = 0 A * 2 + B * (-1) + C * 0 + D = 0 A * 3 + B * 0 + C * 1 + D = 0

Решим эту систему уравнений:

1. 80C + D = 0
2. 2A - B + D = 0
3. 3A + C + D = 0

Система уравнений имеет бесконечно много решений, но мы можем выбрать одно из них. Давайте, например, предположим, что A = 1, тогда:

2 - B + D = 0 => B = 2 + D

3 + C + D = 0 => C = -3 - D

Теперь мы можем записать уравнение плоскости в виде:

x + (2 + D)y + (-3 - D)z + D = 0

2. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку M(2, 1, -1) и перпендикулярной плоскости Q. Для этого нам нужно найти вектор нормали к плоскости Q, который будет направлением нашей прямой. Нормаль к плоскости можно найти, используя коэффициенты A, B и C из уравнения плоскости:

Нормаль к плоскости Q: N = (1, 2 + D, -3 - D)

Теперь у нас есть направляющий вектор прямой. Уравнение прямой в канонической форме имеет вид:

(x - x0) / a = (y - y0) / b = (z - z0) / c

Где (x0, y0, z0) - координаты точки M(2, 1, -1) и (a, b, c) - компоненты направляющего вектора N.

Теперь мы можем записать уравнение прямой:

(x - 2) / 1 = (y - 1) / (2 + D) = (z + 1) / (-3 - D)

3. Найдем точки пересечения прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями.

a) Пересечение с плоскостью Q: Для этого подставим уравнение прямой в уравнение плоскости Q и решим систему уравнений:

x + (2 + D)y + (-3 - D)z + D = 0 (x - 2) / 1 = (y - 1) / (2 + D) = (z + 1) / (-3 - D)

Решая эту систему, выразите x, y и z. Это будут координаты точек пересечения с плоскостью Q.

b) Пересечение с координатной плоскостью xOy: Для этого просто подставьте z = 0 в уравнение прямой и решите его для x и y:

(x - 2) / 1 = (y - 1) / (2 + D) z = 0

Решите систему уравнений, чтобы найти координаты точек пересечения с плоскостью xOy.

c) Аналогично найдите точки пересечения с плоскостями xOz и yOz, подставляя соответствующие значения z и y.

4. Расстояние от точки M(2, 1, -1) до плоскости Q: Для нахождения расстояния от точки до плоскости используйте формулу:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Где (A, B, C) - коэффициенты уравнения плоскости Q, а (x, y, z) - координаты точки M.

Подставьте значения и рассчитайте расстояние d.