Question

Решить уравнение, не применяя универсальную подстановку и дополнительный угол: Sin (x/2)-3Cos(x/2)=3

Answer 1

Применим формулу половинного аргумента

sin (x/2)=2 sin (x/4)cos(x/4)
cos(x/2)=cos²(x/4)-sin²(x/4)
1=sin²(x/4)+cos²(x/4)

Уравнение примет вид:
2 sin (x/4)cos(x/4)-3·(cos²(x/4)-sin²(x/4))=3·(sin²(x/4)+cos²(x/4))
или
2 sin (x/4)cos(x/4)-3·cos²(x/4)+ 3·sin²(x/4)=3·sin²(x/4)+ 3·cos²(x/4)

2 sin (x/4)cos(x/4)-6·cos²(x/4)=0

2·cos(x/4)·(sin(x/4)-3cos(x/4))=0

cos(x/4)=0        или    sin(x/4)-3cos(x/4)=0

х/4=π/2 + πk, k∈ Z    или      tg(x/4)=3
x=2π+4πk,k∈Z                          x/4=arctg 3 + πn, n∈Z
                                                   x=4arctg 3 + 4πn, n∈Z

Ответ. x=2π + 4πk,k∈Z ; x=4arctg 3 + 4πn, n∈Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(x/2) - 3cos(x/2) = 3, давайте начнем с преобразования его в более удобную форму.

1. Выразим sin(x/2) и cos(x/2) через тангенс половинного угла:

sin(x/2) = 2tan(x/4) / (1 + tan^2(x/4)) cos(x/2) = (1 - tan^2(x/4)) / (1 + tan^2(x/4))

2. Подставим эти выражения в уравнение:

2tan(x/4) / (1 + tan^2(x/4)) - 3(1 - tan^2(x/4)) / (1 + tan^2(x/4)) = 3

3. Теперь умножим обе стороны на (1 + tan^2(x/4)), чтобы избавиться от дробей:

2tan(x/4) - 3(1 - tan^2(x/4)) = 3(1 + tan^2(x/4))

4. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

2tan(x/4) - 3 + 3tan^2(x/4) = 3 + 3tan^2(x/4)

5. Теперь преобразуем уравнение:

2tan(x/4) - 3 = 3

6. Переносим -3 на правую сторону:

2tan(x/4) = 3 + 3

7. Сокращаем:

2tan(x/4) = 6

8. Делим обе стороны на 2:

tan(x/4) = 3

9. Теперь найдем значение x/4, используя арктангенс:

x/4 = arctan(3)

10. Умножаем обе стороны на 4, чтобы найти значение x:

x = 4arctan(3)

Таким образом, решение уравнения x = 4arctan(3).