Question

Докажите тождество (sin2a+tg2a) / (tg2a) = 2cos^2a пожжааалуйста

Answer 1

Преобразуем, точнее приведём к общему знаменателю, числитель дроби левой части:
$sin2a+tg2a=sin2a+\frac{sin2a}{cos2a}=\frac{sin2acos2a+sin2a}{cos2a}=\frac{sin2a(cos2a+1)}{cos2a};$
Знаменатель:
$tg2a=\frac{sin2a}{cos2a};$
Сокращаем:
$\frac{sin2a(cos2a+1)}{cos2a}*\frac{cos2a}{sin2a}=cos2a+1;$

В правой части равенства 2cos²a - это на самом деле взято из cos2a, а именно:
$cos2a=cos^2a-sin^2a=cos^2a-(1-cos^2a)=2cos^2a-1\\cos2a=2cos^2a-1\\cos2a+1=2cos^2a$

Вот и выходит, что в левой части мы получили 2cos²a

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и постепенно преобразуем ее в правую сторону, используя тригонометрические тождества.

Начнем с левой стороны:

(sin^2(2a) + tan^2(2a)) / tan^2(2a)

Теперь используем следующие тригонометрические тождества:

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1
2. tan^2(x) + 1 = sec^2(x)

Применяем эти тождества:

(sin^2(2a) + cos^2(2a) * sec^2(2a)) / sec^2(2a)

Теперь раскроем sec^2(2a) как 1/cos^2(2a):

(sin^2(2a) + cos^2(2a) * (1/cos^2(2a))) / (1/cos^2(2a))

После упрощения получаем:

(sin^2(2a) + 1) / 1

Теперь заметим, что sin^2(2a) = 1 - cos^2(2a) (используем тригонометрическое тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x)):

(1 - cos^2(2a) + 1) / 1

Теперь сложим числители:

(2 - cos^2(2a)) / 1

Теперь, используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, можем записать cos^2(2a) как 1 - sin^2(2a):

(2 - (1 - sin^2(2a))) / 1

Упростим дальше:

(2 - 1 + sin^2(2a)) / 1

(1 + sin^2(2a)) / 1

Теперь заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x) (тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x)):

(1 + (1 - cos^2(2a))) / 1

(1 + 1 - cos^2(2a)) / 1

(2 - cos^2(2a)) / 1

И, наконец, мы получили правую сторону тождества:

2 - cos^2(2a) = 2cos^2(2a)

Таким образом, мы успешно доказали данное тождество:

(sin^2(2a) + tan^2(2a)) / tan^2(2a) = 2cos^2(2a)