Question

Помогите решить (x-1)^2<√2(x-1)

Answer 1

Неравенство  $(x-1)^{2}\ \textless \ \sqrt{2} (x-1)$
перенесем все в одну сторону и вынесем (х-1) - общий множитель - за скобки
$(x-1)^{2}- \sqrt{2}(x-1)\ \textless \ 0$
(x-1)(x-1- $\sqrt{2$)<0
рассмотрим функцию  f(x)=(x-1)(x-(1+ $\sqrt{2}$))
 нули функции в точках  х=1,  х=1+ $\sqrt{2}$
                     1                      1+ $\sqrt{2}$
___+________I_____-______I___________+_____________>
                                                                                                  
ответ:  (1,  1+ $\sqrt{2}$)

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

(x-1)^2 < √2(x-1)

Сначала выразим общий множитель (x-1) из левой и правой частей неравенства:

(x-1)((x-1) - √2) < 0

Теперь раскроем скобки:

(x-1)(x-1) - (x-1)√2 < 0

(x^2 - 2x + 1) - (x√2 - √2) < 0

Теперь объединим подобные члены:

x^2 - 2x + 1 - x√2 + √2 < 0

x^2 - 2x - x√2 + 1 + √2 < 0

Теперь мы можем определить, какие значения x удовлетворяют этому неравенству. Для этого разберемся с квадратным трехчленом x^2 - 2x + 1 и линейным трехчленом -x√2 + √2 по отдельности.

1. Квадратный трехчлен: x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2

2. Линейный трехчлен: -x√2 + √2 = √2(1 - x)

Теперь наше неравенство выглядит так:

(x-1)^2 - √2(1 - x) < 0

Теперь определим интервалы, на которых это неравенство выполняется.

1. Для (x-1)^2: (x-1)^2 всегда неотрицательно, и оно равно 0 только при x = 1. Значит, (x-1)^2 положительно для всех x, кроме x = 1.

2. Для -√2(1 - x): -√2(1 - x) положительно, если x < 1, и отрицательно, если x > 1.

Теперь объединим эти результаты:

• Для x < 1: Оба члена неравенства положительны, и их разность остается положительной.
• Для x > 1: Первый член положителен, а второй член отрицателен, и их разность отрицательна.

Таким образом, неравенство выполняется на двух интервалах:

1. x < 1
2. x > 1

Итак, решение неравенства (x-1)^2 < √2(x-1) - это интервалы x < 1 и x > 1.