Question

Найти неопределённый интеграл sin2x*sin6x

Answer 1

Решение смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла от произведения функций sin(2x) и sin(6x), мы можем использовать метод интегрирования по частям (integration by parts). Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это части функции, которые мы выбираем, чтобы продифференцировать (u) и взять интеграл (dv). Затем мы находим произведение uv и интеграл ∫v du.

Для вашего интеграла:

∫sin(2x) * sin(6x) dx

Выберем:

u = sin(2x) dv = sin(6x) dx

Теперь вычислим производные и интегралы:

du = 2cos(2x) dx v = -1/6cos(6x)

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫sin(2x) * sin(6x) dx = uv - ∫v du = sin(2x) * (-1/6cos(6x)) - ∫(-1/6cos(6x)) * (2cos(2x) dx) = -1/6sin(2x)cos(6x) + 1/3∫cos(2x)cos(6x) dx

Мы получили новый интеграл, который можно решить, используя формулу двойного угла для косинуса и интегрирование по схеме сокращения:

∫cos(2x)cos(6x) dx = ∫(1/2cos(8x) + 1/2cos(4x)) dx

Теперь мы можем интегрировать оба члена по отдельности:

∫1/2cos(8x) dx + ∫1/2cos(4x) dx

= 1/16sin(8x) + 1/8sin(4x) + C,

где C - постоянная интеграции.

Теперь вернемся к исходному интегралу:

∫sin(2x) * sin(6x) dx = -1/6sin(2x)cos(6x) + 1/3(1/16sin(8x) + 1/8sin(4x)) + C

Теперь вы можете упростить это выражение и добавить постоянную интеграции C, чтобы получить окончательный ответ.