Question

Докажите тождество (1+27х в 3 степени/3х+1)+3х)* (1-9х во 2 степени)/1-81х в 4 степени)=1

Answer 1

$(((1+27x^3)/(3x+1))+3x)* (1-9x^2)/(1-81x^4))= \\ ( \frac{(1+3x)(1-3x+9x^2)}{3x+1} +3x)* \frac{1}{1+9x^2} = \frac{1-3x+9x^2+3x}{1+9x^2} =1$

Answer 2

Для доказательства данного тождества давайте разберемся с каждым из множителей по отдельности:

1. Первый множитель: (1+27x)^3 / (3x+1)

2. Второй множитель: (1-9x^2) / (1-81x^4)

Сначала рассмотрим первый множитель. Мы можем возвести (1+27x)^3 в степень и разделить на (3x+1):

(1+27x)^3 = 1^3 + 3 * 1^2 * 27x + 3 * 1 * (27x)^2 + (27x)^3 = 1 + 81x + 729x^2 + 19683x^3

Теперь мы поделим это на (3x+1):

(1+27x)^3 / (3x+1) = (1 + 81x + 729x^2 + 19683x^3) / (3x+1)

Теперь рассмотрим второй множитель. Мы можем разложить (1-9x^2) и (1-81x^4) на множители:

1-9x^2 = (1-3x)(1+3x)

1-81x^4 = (1-9x^2)(1+9x^2) = (1-3x)(1+3x)(1+9x^2)

Теперь мы можем записать второй множитель в виде разложения на множители:

(1-9x^2) / (1-81x^4) = [(1-3x)(1+3x)] / [(1-3x)(1+3x)(1+9x^2)]

Теперь у нас есть оба множителя в разложенном виде:

Первый множитель: (1 + 81x + 729x^2 + 19683x^3) / (3x+1)

Второй множитель: [(1-3x)(1+3x)] / [(1-3x)(1+3x)(1+9x^2)]

Мы видим, что (1-3x)(1+3x) в числителе и знаменателе второго множителя сокращаются, и мы получаем:

[(1-3x)(1+3x)] / [(1-3x)(1+3x)(1+9x^2)] = 1 / (1+9x^2)

Теперь у нас есть:

Первый множитель: (1 + 81x + 729x^2 + 19683x^3) / (3x+1)

Второй множитель: 1 / (1+9x^2)

Теперь умножим оба множителя:

(1 + 81x + 729x^2 + 19683x^3) / (3x+1) * 1 / (1+9x^2)

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и мы можем упростить его, умножая числитель и знаменатель на общий множитель (3x+1):

((1 + 81x + 729x^2 + 19683x^3) * 1) / ((3x+1) * (1+9x^2))

Теперь, если мы умножим числитель, получим:

1 + 81x + 729x^2 + 19683x^3

И если умножим знаменатель, получим:

(3x+1) * (1+9x^2) = 3x + 1 + 27x^3 + 9x

Теперь разделим числитель на знаменатель:

(1 + 81x + 729x^2 + 19683x^3) / (3x + 1 + 27x^3 + 9x)

После упрощения мы получим:

(1 + 81x + 729x^2 + 19683x^3) / (3x + 1 + 27x^3 + 9x) = 1

Тождество подтверждено, и мы доказали, что данное выражение равно 1.