Question

Y=(√x^2 -9 )/ x+1 найдите область определения функции через систему

Answer 1

Подкоренное выражение должен принимать только положительные значения, включая нуль. Также знаменатель дроби не равен нулю.

$\left \{ {{x^2-9 \geq 0} \atop {x+1\ne 0}} \right. \Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \left[\begin{array}{ccc}x \leq -3\\ x \geq 3\end{array}\right \\ & \text{ } x\ne -1 \end{cases}$


Область определения функции записывают так:

$D(y)=x \in (-\infty;-3]\cup[3;+\infty)$

Answer 2

Чтобы найти область определения функции Y = (√(x^2 - 9))/(x + 1) через систему неравенств, нужно учесть два аспекта:

1. Знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.
2. Внутри корня (радикала) должно быть неотрицательное значение.

Давайте рассмотрим оба аспекта:

1. Знаменатель не может быть равен нулю: x + 1 ≠ 0

2. Внутри корня должно быть неотрицательное значение: x^2 - 9 ≥ 0

Теперь мы можем объединить эти два условия в систему неравенств:

x + 1 ≠ 0 (это неравенство гарантирует, что знаменатель не равен нулю) x^2 - 9 ≥ 0 (это неравенство гарантирует, что внутри корня неотрицательное значение)

Сначала решим второе неравенство:

x^2 - 9 ≥ 0

Это неравенство можно решить, разложив его на множители:

(x + 3)(x - 3) ≥ 0

Теперь мы видим, что неравенство будет выполнено, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Таким образом, у нас есть два случая:

1. (x + 3) ≥ 0 и (x - 3) ≥ 0 (оба множителя положительны).
2. (x + 3) ≤ 0 и (x - 3) ≤ 0 (оба множителя отрицательны).

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Для (x + 3) ≥ 0 и (x - 3) ≥ 0: x + 3 ≥ 0 => x ≥ -3 x - 3 ≥ 0 => x ≥ 3

2. Для (x + 3) ≤ 0 и (x - 3) ≤ 0: x + 3 ≤ 0 => x ≤ -3 x - 3 ≤ 0 => x ≤ 3

Теперь объединим результаты обоих случаев:

Для первого случая: x ≥ -3 и x ≥ 3. Так как оба условия выполняются, то область определения будет x ≥ 3.

Для второго случая: x ≤ -3 и x ≤ 3. Так как оба условия выполняются, то область определения будет x ≤ -3.

Итак, область определения функции Y = (√(x^2 - 9))/(x + 1) через систему неравенств составляет x ≤ -3 или x ≥ 3.