Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-4x+5 и y=5

Answer 1

Какой там двойной интеграл, если оно устно решается... Ответ 4.5
Как решать. Видно, что линии пересекаются при х=1 и х=4. Нам надо от площади трапеции (=3,5*3)=10,5, отнять площадь под кривой. Первообразная x^3/3 - 2x^2 +5x, подставляем туда х=4 и х=1, вычитаем (9 и 1/3 - 3 и 1/3)=6. Осталось вычесть площади: 10,5 - 6 = 4.5.






или

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 4x + 5 и y = 5, нужно найти точки их пересечения и затем найти интеграл функции, описывающей разницу между этими двумя кривыми вдоль оси x. Площадь фигуры будет равна модулю этого интеграла.

Сначала найдем точки пересечения двух кривых:

1. y = x^2 - 4x + 5
2. y = 5

Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для y:

x^2 - 4x + 5 = 5

x^2 - 4x = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

x(x - 4) = 0

Из этого уравнения получаем два значения x:

1. x = 0
2. x = 4

Теперь у нас есть две точки пересечения: (0, 5) и (4, 5).

Теперь найдем интеграл функции, описывающей разницу между этими двумя кривыми вдоль оси x:

∫[0,4] (5 - (x^2 - 4x + 5)) dx

Упростим выражение:

∫[0,4] (5 - x^2 + 4x - 5) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

∫[0,4] (-x^2 + 4x) dx

Интегрирование:

= [-x^3/3 + 2x^2] от 0 до 4

Теперь вычислим значение интеграла:

(-4^3/3 + 2*4^2) - (0 - 0) = (-64/3 + 32) - 0 = (-64/3 + 96/3) = 32/3

Итак, площадь фигуры ограниченной линиями y = x^2 - 4x + 5 и y = 5 равна 32/3 квадратных единиц.