Question

Определить сходимость ряда по общему члену  ∞  ∑           1/n(n+2) n=1

Answer 1

Сходится, можно мажорировать рядом 1/n^2, а этот ряд точно сходится

Answer 2

Для определения сходимости ряда ∑ (от n=1 до ∞) 1 / (n(n+2)), мы можем воспользоваться признаком сравнения.

Рассмотрим ряд ∑ (от n=1 до ∞) 1 / (n(n+2)) и ряд ∑ (от n=1 до ∞) 1 / n^2.

Заметим, что для всех натуральных n выполняется неравенство:

1 / (n(n+2)) ≤ 1 / n^2,

так как n(n+2) > n^2 для всех n > 0.

Ряд ∑ (от n=1 до ∞) 1 / n^2 сходится (это ряд-парабола, который можно анализировать с помощью позитивного признака сходимости). Следовательно, по признаку сравнения, ряд ∑ (от n=1 до ∞) 1 / (n(n+2)) также сходится.

Итак, данный ряд сходится.