Question

Докажите что значение выражения 5^4+5^6делится на 13поже завтра конрольная нужно срочно

Answer 1

5^4 + 5^6 = 5^4 ( 1 + 5^2) = 5^4 ( 1 + 25) = 5^4 * 26 = 5^4 * 2*13 - делится на 13 , доказано.

Answer 2

Давайте докажем, что выражение $5^4 + 5^6$ делится на 13 с помощью метода математической индукции.

Шаг 1: Проверим базовый случай. Подставим $n = 1$ в выражение $5^{2n} + 5^{2n+2}$: $5^{2 \cdot 1} + 5^{2 \cdot 1 + 2} = 5^2 + 5^4 = 25 + 625 = 650.$ Мы видим, что 650 делится на 13, так как $650 = 13 \cdot 50$.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что $5^{2n} + 5^{2n+2}$ делится на 13 для некоторого натурального $n$, т.е. существует натуральное $k$, для которого выполняется: $5^{2n} + 5^{2n+2} = 13k.$

Шаг 3: Докажем для $n+1$. Рассмотрим выражение $5^{2(n+1)} + 5^{2(n+1)+2}$: $5^{2(n+1)} + 5^{2(n+1)+2} = 5^{2n+2} \cdot 5^2 + 5^{2n+4} = 25 \cdot (5^{2n} + 5^{2n+2}) + 25 \cdot 5^{2n+2}.$ Используем предположение индукции: $5^{2n} + 5^{2n+2} = 13k$. Подставляем это значение обратно: $25 \cdot (13k) + 25 \cdot 5^{2n+2} = 13 \cdot (25k + 25 \cdot 5^{2n+2}).$ Мы видим, что выражение делится на 13.

Таким образом, по принципу математической индукции, мы доказали, что $5^{2n} + 5^{2n+2}$ делится на 13 для любого натурального $n$.

Поскольку $5^4 + 5^6 = 5^{2 \cdot 2} + 5^{2 \cdot 2 + 2}$, то это выражение также делится на 13.