Question

Числа a и b таковы, что a+b<= -4, 2a+b<= -7. Какое наименьшее значение может принимать выражение a^2-4b?

Answer 1

$\displaystyle \left \{ {{a+b \leq -4} \atop {2a+b \leq -7}} \right.$

при каких a и b 
a²-4b примет наименьшее значение

решение:

$\displaystyle \left \{ {{a+b \leq -4} \atop {2a+b \leq -7}} \right.$
из второго неравенства вычтем первое

$\displaystyle 2a+b-a-b \leq -7-(-4) a \leq -3$

тогда 
$\displaystyle -3+b \leq -4 b \leq -1$

имеем теперь систему

$\displaystyle \left \{ {{a \leq -3} \atop {b \leq -1}} \right.$

Оценим значение a²

$\displaystyle a \leq -3 a^2 \geq 9$

оценим -4b

$\displaystyle b \leq -1 4b \leq -4 -4b \geq 4$

видим что теперь у нас есть сумма a²  и (-4b) где наименьшее значение
a²=9 а наименьшее значение (-4b)=4

Значит  $\displaystyle a^{2} -4b \geq 9+4 a^2-4b \geq 13$


Вывод: наименьшим значением выражения будет 13, 
при a=-3 и b=-1

Answer 2

Давайте рассмотрим систему неравенств:

1. $a + b \leq -4$
2. $2a + b \leq -7$

Мы можем решить эту систему неравенств, чтобы найти допустимые значения $a$ и $b$. Давайте начнем с уравнения 2 и выразим $b$:

$b \leq -7 - 2a$

Теперь подставим это выражение в уравнение 1:

$a + (-7 - 2a) \leq -4$

Решим неравенство относительно $a$:

$-a - 7 \leq -4$

$a \geq -3$

Теперь, когда у нас есть ограничение на $a$, мы можем найти соответствующее ограничение на $b$, используя выражение $b \leq -7 - 2a$:

$b \leq -7 - 2 \cdot (-3)$

$b \leq 1$

Итак, допустимые значения $a$ находятся в интервале $[-3, +\infty)$, а допустимые значения $b$ находятся в интервале $(-\infty, 1]$.

Теперь, чтобы найти наименьшее значение выражения $a^2 - 4b$, мы должны минимизировать $a$ и максимизировать $b$. Максимальное значение для $b$ из ограничения - это $1$, так как $b$ не может быть больше этого значения. А минимальное значение для $a$ - это $-3$, так как $a$ не может быть меньше этого значения.

Подставим эти значения в выражение $a^2 - 4b$:

$(-3)^2 - 4 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

Таким образом, наименьшее значение выражения $a^2 - 4b$ равно $5$.