Question

Сумма двух чисел равна 8. Найдите: 1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел 2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел

Answer 1

Ответ:

16;32

Объяснение:

Answer 2

Пусть два числа, сумма которых равна 8, обозначим как $x$ и $y$. То есть у нас есть следующая система уравнений:

1. $x + y = 8$
2. $x = 8 - y$

Мы можем использовать эти уравнения для решения задачи:

1. Для нахождения наибольшего произведения двух чисел, когда их сумма фиксирована, нам нужно максимизировать расстояние между этими числами. Так как сумма $x + y$ равна 8, наибольшее значение произведения будет достигнуто, когда числа $x$ и $y$ будут как можно ближе к 4. Таким образом, наибольшее произведение будет $4 \times 4 = 16$.

2. Чтобы найти наименьшее значение суммы квадратов этих чисел, мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним квадратичным. Неравенство Гёльдера гласит:

$(a_1^p + a_2^p)^\frac{1}{p} \cdot (b_1^q + b_2^q)^\frac{1}{q} \geq a_1^\frac{1}{p} \cdot b_1^\frac{1}{q} + a_2^\frac{1}{p} \cdot b_2^\frac{1}{q}$,

где $p$ и $q$ - это положительные числа такие, что $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$.

В данной задаче мы хотим минимизировать сумму квадратов $x^2 + y^2$, то есть $p = 2$ и $q = 2$. Таким образом, неравенство Гёльдера применимо. Мы можем записать:

$(x^2 + y^2)^\frac{1}{2} \cdot (1 + 1)^\frac{1}{2} \geq x^\frac{1}{2} \cdot y^\frac{1}{2} + y^\frac{1}{2} \cdot x^\frac{1}{2}$.

Упрощая выражение, получаем:

$(x^2 + y^2)^\frac{1}{2} \cdot 2^\frac{1}{2} \geq 2 \cdot (x \cdot y)^\frac{1}{2}$.

Теперь возводим обе стороны неравенства в квадрат:

$x^2 + y^2 \geq 2 \cdot x \cdot y$.

Известно, что $x + y = 8$, поэтому мы можем возвести это уравнение в квадрат:

$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2 \cdot x \cdot y$.

Подставляем известное значение $x + y = 8$:

$64 = x^2 + y^2 + 2 \cdot x \cdot y$.

Теперь мы можем выразить $x^2 + y^2$ через $x \cdot y$:

$x^2 + y^2 = 64 - 2 \cdot x \cdot y$