Question

Решите систему : x + y = Пи/2 cosx + siny = -1

Answer 1

X+y=π/2⇒y=π/2-x
cosx+siny=-1
cosx+sin(π/2-x)=-1
cosx+cosx=-1
2cosx=-1
cosx=-1/2
x=-2π/3⇒y=π/2+2π/3=7π/6
x=2π/3⇒y=π/2-2π/3=4π/3

Answer 2

Данная система уравнений не имеет аналитического решения, которое можно выразить в виде конкретных чисел или функций. Однако, можно воспользоваться численными методами, чтобы приближенно найти значения переменных x и y.

Давайте воспользуемся методом Ньютона для численного приближенного решения этой системы. Сначала давайте определим функции:

$$f(x, y) = x + y - \frac{\pi}{2}$$

$$g(x, y) = \cos(x) + \sin(y) + 1$$

И их производные:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 1$$

$$\frac{\partial g}{\partial x} = -\sin(x), \quad \frac{\partial g}{\partial y} = \cos(y)$$

Затем начнем с какого-либо начального приближения для (x, y) и будем применять метод Ньютона для системы уравнений:

$$\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_n \\ y_n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x_n, y_n) & \frac{\partial f}{\partial y}(x_n, y_n) \\ \frac{\partial g}{\partial x}(x_n, y_n) & \frac{\partial g}{\partial y}(x_n, y_n) \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f(x_n, y_n) \\ g(x_n, y_n) \end{bmatrix}$$

Повторяем этот процесс несколько раз, пока значения переменных (x, y) не стабилизируются.

Заметим, что выбор начального приближения может влиять на сходимость метода. В данном случае, система уравнений довольно сложная, и может потребоваться много итераций для достижения приемлемой точности.