Question

Решить систему тригонометрических уравнений: sinx - siny = 0.5 cosx + cosy = √(3)/2 Попытался выразить sinx и cosx через 0.5 + siny и √(3)/2 - cosy соответственно, возведя при этом оба уравнения в квадрат и сложив их по формуле sin^2a+cos^2a=1 (0.5 + siny)^2 + (√(3)/2 - cosy)^2 = 1, приведя подобные получил siny - √(3)cosy + 1 = 0, а дальше ни туда и ни сюда. Есть другие способы решения или я что-то не так делаю?

Answer 1

Ответ:

(π/2 + 2πm; π/6 + 2πn)

(-π/6 + 2πm; -π/2 + 2πn); n,m∈Z

Объяснение:

Применяем к 1-му уравнение "разность синусов", а ко 2-му "сумму косинусов":

(1) $2\sin(\frac{x-y}{2} )\cos(\frac{x+y}{2} ) = \frac1 2$

(2) $2\cos(\frac{x+y}{2} )\cos(\frac{x-y}{2} ) = \frac{\sqrt{3}}2$

Делим почленно (1) на (2):

$\frac{2\sin(\frac{x-y}{2} )\cos(\frac{x+y}{2} ) }{2\cos(\frac{x+y}{2} )\cos(\frac{x-y}{2})}=\frac1 \sqrt{3}$

$\frac{\sin(\frac{x-y}{2} ) }{\cos(\frac{x-y}{2})}=\frac1 \sqrt{3}$

(3)$\tan(\frac{x-y}2)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

(x - y)/2 = π/6 + πk, k∈Z

x = y + π/3 + 2πk - Подставляем в (1):

2·sin(0.5·(y + π/3 + 2πk - y)·cos(0.5·(y + π/3 + 2πk + y)) = 1/2

2·sin(π/6)·cos(y + π/6) = 1/2

cos(y + π/6) = 1/2

y + π/6 = ±π/3 + 2πn, n∈Z

1) y = -π/2 + 2πn

x = -π/6 + 2πn + 2πk = -π/6 + 2πm, m∈Z

или

2) y = π/6 + 2πn

x = π/2 + 2πn + 2πk = π/2 + 2πm

Проверяем получившиеся корни - все подходят

Answer 2

Попытка выразить sinx и cosx через siny и cosy - это хорошая идея, но ваш подход немного неправильный. Вместо того, чтобы возводить оба уравнения в квадрат, вы можете использовать тригонометрические тождества для sin^2x и cos^2x.

Давайте решим систему уравнений по шагам:

Уравнение 1: sinx - siny = 0.5

Уравнение 2: cosx + cosy = √(3)/2

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2a + cos^2a = 1 для получения выражений для sin^2x и cos^2x:

sin^2x + cos^2x = 1

Умножим уравнение 1 на cos^2x и уравнение 2 на sin^2x:

sin^2x * cos^2x - siny * cos^2x = 0.5 * cos^2x cos^2x * sin^2x + cosy * sin^2x = (√(3)/2) * sin^2x

Сложим оба уравнения:

sin^2x * cos^2x + cos^2x * sin^2x - siny * cos^2x + cosy * sin^2x = 0.5 * cos^2x + (√(3)/2) * sin^2x

2 * sin^2x * cos^2x + (cosy - siny) * sin^2x = 0.5 * cos^2x + (√(3)/2) * sin^2x

(2 * cos^2x + cosy - siny) * sin^2x = 0.5 * cos^2x + (√(3)/2) * sin^2x

Теперь мы можем выразить sin^2x через cos^2x, используя тождество sin^2x = 1 - cos^2x:

(2 * cos^2x + cosy - siny) * (1 - cos^2x) = 0.5 * cos^2x + (√(3)/2) * (1 - cos^2x)

Раскроем скобки:

2 * cos^2x - 2 * cos^4x + cosy - siny - cosy * cos^2x + siny * cos^2x = 0.5 * cos^2x + (√(3)/2) - (√(3)/2) * cos^2x

Упростим:

2 * cos^2x - 2 * cos^4x + cosy - siny - (cosy - siny) * cos^2x = 0.5 * cos^2x + (√(3)/2) - (√(3)/2) * cos^2x

2 * cos^2x - 2 * cos^4x + cosy - siny - cosy * cos^2x + siny * cos^2x = 0.5 * cos^2x + (√(3)/2) - (√(3)/2) * cos^2x

Пер