Question

Докажите что выражение принимает только положительные значения 1) x^2 - 4x + 5 2)x^2 - 4xy + 2y^2 + 3

Answer 1

1) x^2 - 4x + 5 = x²-4x+4+1=(x-2)²+1 первое больше равно 0 второй больше сумма больше 0
2)x^2 - 4xy + 2y^2 + 3 = x²-4xy+4y²-2y²+3=(x-2y)²+3-2y²  неизвестно
x²-4xy+4y²+3=(x-2y)²+3 да первый больше равен 0 второй больше сумма больше

Answer 2

Чтобы доказать, что данное выражение принимает только положительные значения, нам нужно показать, что оно всегда больше нуля (для любых значений переменных), то есть что у него нет корней или его значения не пересекают ось x (не достигают нуля).

1. Рассмотрим выражение x^2 - 4x + 5. Давайте воспользуемся методом завершения квадрата, чтобы выразить его в виде полного квадрата:

x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1.

Так как квадрат любого числа (x - 2)^2 всегда неотрицательный, он может быть равен нулю только при x = 2. Таким образом, (x - 2)^2 всегда больше либо равен нулю для всех значений x, кроме x = 2. При этом добавление 1 к положительному или нулевому значению не изменит знак, так как 1 положительно. Таким образом, выражение (x - 2)^2 + 1 всегда больше нуля, а значит, и исходное выражение x^2 - 4x + 5 также всегда больше нуля.

2. Рассмотрим выражение x^2 - 4xy + 2y^2 + 3. Аналогично, давайте попробуем представить его как сумму полных квадратов:

x^2 - 4xy + 2y^2 + 3 = (x^2 - 4xy + 4y^2) - 2y^2 + 3 = (x - 2y)^2 + (3 - 2y^2).

Аналогично первому случаю, квадрат любого числа (x - 2y)^2 всегда неотрицательный, а (3 - 2y^2) также неотрицательное значение. Таким образом, сумма этих двух неотрицательных значений также будет неотрицательной. Так как суммируется положительное значение ((x - 2y)^2) и неотрицательное значение ((3 - 2y^2)), то исходное выражение x^2 - 4xy + 2y^2 + 3 всегда больше или равно нулю.

Таким образом, оба данных выражения принимают только положительные значения.