Question

Найти асимптоты графика функции: y = (x^2+1)/x

Answer 1

Найти асимптоты графика функции:

y = (x^2+1)/x

x=0  -   вертикальная асимптота.

наклонная асимтота
y=kx+b,

k= lim (f(x)/x)=   lim ((x^2+1)/x²)=1  
    x→∞            x→∞
b= lim (f(x)-kx)=  lim ((x^2+1)/x-x)=0
     x→∞              x→∞
y=x

Answer 2

Для нахождения асимптот графика функции y = (x^2 + 1)/x нужно рассмотреть два типа асимптот: вертикальные и горизонтальные.

1. Вертикальные асимптоты: Вертикальные асимптоты возникают тогда, когда значение x стремится к определенному числу, и функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной). Для этой функции вертикальные асимптоты будут в точках, где знаменатель равен нулю, так как деление на ноль невозможно.

Знаменатель x становится равным нулю, когда x = 0. Однако, если мы подставим x = 0 в функцию, получим 0/0, что неопределено. Это может говорить о том, что возможна разрыв функции в этой точке, но не обязательно о наличии вертикальной асимптоты.

2. Горизонтальные асимптоты: Горизонтальные асимптоты возникают, когда x стремится к бесконечности, и функция стремится к определенному числу. Чтобы найти горизонтальные асимптоты, давайте рассмотрим, как функция ведет себя при больших значениях x:

y = (x^2 + 1)/x

При больших положительных или отрицательных значениях x, x^2 становится значительно больше, чем 1, и функция может быть приближена как:

y ≈ x^2/x = x

Это означает, что при x, стремящемся к положительной или отрицательной бесконечности, функция будет стремиться к бесконечности в том же направлении. Таким образом, горизонтальных асимптот нет.

Итак, в данном случае у нас нет вертикальных асимптот, и горизонтальных асимптот тоже нет.