Question

Найдите все первообразные функции f (x)= sin6x-3

Answer 1

F(x)=∫f(x)dx=-6*cos6x+C
----------------------------------------------

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $\int (\sin^6 x - 3) \, dx$, нам нужно разбить это на два интеграла и затем интегрировать каждую часть по отдельности.

1. $\int \sin^6 x \, dx$: Используем формулу понижения степени для тригонометрических функций: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ $\sin^4 x = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$ Теперь мы можем заменить $\cos^2 2x$ с помощью тождества $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$: $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ Таким образом, $\sin^4 x = \frac{1 - 2\cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{3}{8} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos 4x}{8}$

Теперь у нас есть: $\sin^6 x = \sin^4 x \cdot \sin^2 x = \left(\frac{3}{8} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos 4x}{8}\right) \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2}$

$\sin^6 x = \frac{3}{16} - \frac{3\cos 2x}{4} + \frac{\cos 4x}{8} + \frac{\cos 2x - \cos^2 2x}{2} - \frac{\cos 2x \cdot \cos 4x}{2}$

Интегрируем: $\int \sin^6 x \, dx = \frac{3}{16}x + \frac{3}{8}\sin 2x + \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{2}\int \cos 2x \, dx + \frac{1}{2}\int \cos 2x \cdot \cos 4x \, dx$ $= \frac{3}{16}x + \frac{3}{8}\sin 2x + \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\int \cos 2x \cdot \cos 4x \, dx$ $= \frac{3}{16}x + \frac{3}{8}\sin 2x + \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{2}\int \cos 2x \cdot \cos 4x \, dx$