Question

Решите неравенство (x^4 + 4*x^2 - 5)/(x^2 + 5*x - 6) <= 0

Answer 1

x6+5x5−2x4+20x3−29x2−25x+30≤0⇒

Answer 2

Для решения данного неравенства сначала найдем значения x, при которых выражение в числителе и знаменателе обращается в ноль:

Числитель: x^4 + 4x^2 - 5 = 0 Мы можем решить это уравнение, представив его как квадратное уравнение относительно x^2: (x^2)^2 + 4(x^2) - 5 = 0 Заменяем x^2 = t: t^2 + 4t - 5 = 0

Решаем квадратное уравнение t^2 + 4t - 5 = 0 с помощью квадратного корня или факторизации: (t + 5)(t - 1) = 0 t = -5 или t = 1

Подставляем обратно x^2 вместо t: x^2 = -5 или x^2 = 1

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, x^2 = -5 не имеет решений.

Аналогично решаем знаменатель: x^2 + 5x - 6 = 0 (x + 6)(x - 1) = 0 x = -6 или x = 1

Теперь мы знаем, что неравенство может изменять свой знак на интервалах между -6 и 1.

Следующим шагом является анализ знака исходного выражения на каждом из интервалов:

1. Если x < -6: (x^4 + 4x^2 - 5) < 0 (четное количество отрицательных множителей) (x^2 + 5x - 6) < 0 (один отрицательный множитель) Значит, (x^4 + 4x^2 - 5)/(x^2 + 5x - 6) > 0

2. Если -6 < x < 1: (x^4 + 4x^2 - 5) > 0 (четное количество отрицательных множителей) (x^2 + 5x - 6) < 0 (один отрицательный множитель) Значит, (x^4 + 4x^2 - 5)/(x^2 + 5x - 6) < 0

3. Если x > 1: (x^4 + 4x^2 - 5) > 0 (четное количество положительных множителей) (x^2 + 5x - 6) > 0 (оба множителя положительны) Значит, (x^4 + 4x^2 - 5)/(x^2 + 5x - 6) > 0

Итак, неравенство (x^4 + 4x^2 - 5)/(x^2 + 5x - 6) <= 0 выполняется на интервале -6 < x < 1.