Question

25 баллов Доказать тождество: sin2a-tga=cos2a*tga (a-альфа)

Answer 1

По тригонометрическим формулам :)

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны (sin^2(a) - tan(a)) и постепенно преобразуем ее в правую сторону (cos^2(a) * tan(a)) с использованием тригонометрических тождеств.

Исходное тождество: sin^2(a) - tan(a) = cos^2(a) * tan(a)

Начнем с левой стороны: sin^2(a) - tan(a)

Преобразуем tan(a) в выражение из sin(a) и cos(a): sin^2(a) - sin(a)/cos(a)

Приведем дробь к общему знаменателю: (sin^2(a) * cos(a) - sin(a))/cos(a)

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin(2a) = 2sin(a)cos(a) (sin(2a) - sin(a))/cos(a)

Формула разности синусов: 2sin(a)cos(a) - sin(a))/cos(a)

Факторизуем общий множитель sin(a): sin(a)(2cos(a) - 1)/cos(a)

Преобразуем 2cos(a) - 1 в выражение из cos(a): 2cos^2(a) - cos(a)

Теперь используем тождество: 1 - sin^2(a) = cos^2(a) 2(1 - sin^2(a)) - cos(a)

Раскрываем скобки: 2 - 2sin^2(a) - cos(a)

Преобразуем sin^2(a) в выражение из cos^2(a): 2 - 2cos^2(a) - cos(a)

Выражаем 2cos^2(a) как (2 - cos(2a))/2: 2 - (2 - cos(2a))/2 - cos(a)

Упрощаем: 2 - 1 + cos(2a)/2 - cos(a)

1 + (cos(2a) - 2cos(a))/2

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: cos(2a) = 2cos^2(a) - 1 1 + (2cos^2(a) - 1 - 2cos(a))/2

Выражаем -2cos(a) как -2cos(a)/2: 1 + (2cos^2(a) - 2cos(a) + 1)/2

Сокращаем выражение в числителе: 1 + (2cos(a)(cos(a) - 1) + 1)/2

Сокращаем дробь в числителе на 2: 1 + cos(a)(cos(a) - 1) + 1/2

1 + cos^2(a) - cos(a) + 1/2

1/2 + cos^2(a) - cos(a)

Теперь перейдем к правой стороне тождества: cos^2(a) * tan(a)

Преобразуем tan(a) в sin(a)/cos(a): cos^2(a) * sin(a)/cos(a)

Сокращаем cos(a) в числителе и знаменателе: cos(a) * sin(a)

Используем тригонометрическое тождество: 2sin(a)cos(a) = sin(2a) sin(2a)/2

Теперь возвращаемся к левой стороне и правой стороне тождества: 1/2 + cos^2(a) - cos(a) = sin(2a)/2

Таким образом, исходное тождество доказано.